Estoy leyendo Teoría de Juegos Evolutiva por Jason MacKenzie Alexander, y el autor, al introducir el tratamiento de sistemas dinámicos de juegos evolutivos, define el vector $\vec{p(t)} = \langle \; p_1(t) \; p_2(t) \; \dots \; p_n(t) \; \rangle \in \mathbb{R}^n$, donde $p_i(t)$ para $i \in \{1, 2, \dots, n\}$ es la fracción de la población que juega la estrategia $S_i$ en el tiempo $t$, como el estado del sistema de interés en el tiempo $t$. Luego continúa señalando que, dado que imponemos
- $p_i(t) \geq 0 \; \forall i \in \{1, 2, \dots, n\}$, y
- $\sum_{i=1}^np_i(t) = 1$,
el espacio donde $\vec{p(t)}$ vive, es decir, el espacio de estado del sistema, es un hiperplano de $\mathbb{R}^n$, es decir, un espacio $(n - 1)$-dimensional.
¿Estoy en lo correcto al deducir que esto se debe al hecho de que imponer $\sum_{i=1}^np_i(t) = 1$ equivale a imponer una restricción en $n$ variables, mientras que la condición $p_i(t) \geq 0 \; \forall i \in \{1, 2, \dots, n\}$ no es una restricción en absoluto (por lo que no tiene relevancia en qué subespacio de $\mathbb{R}^n$ se encuentra el espacio de estado)? ¿Como una forma más clara de expresar lo anterior, sería correcto redefinir el vector de estrategias como un elemento de $\mathbb{R}_{\geq 0}^n$ e imponer la única restricción $\sum_{i=1}^np_i(t) = 1$?
