Precios PDE de opción asiática por Shreve

Question

Actualmente estoy trabajando en "Cálculo Estocástico para Finanzas II, modelo de tiempo continuo" de Shreve. En el capítulo 7.5 Theo 7.5.1 deriva una EDP de precios con condiciones de contorno para una opción de compra asiática y no entiendo su derivación de la primera condición de contorno. Entonces tenemos \begin{align*} dS_t=rS_tdt+S_tdW_t\\ Y_t=\int_{0}^{t}S_udu\ \end{align*} La condición de contorno se da por \begin{align*} v(t,0,y)=e^{-r(T-t)}\max(\frac{y}{T}-K,0). \end{align*} Su derivación: "SI $S_t=0$ y $Y_t=y$ para cierta variable $t$, entonces $S_u=0, \ \forall u \in[t,T]$ y entonces $Y_u$ es constante en $[t,T]$ y por lo tanto $Y_T=y$ y el valor de la opción de compra asiática en el tiempo t es $e^{-r(T-t)}\max(\frac{y}{T}-K,0)$".

Problema: No entiendo por qué $S_t=0$ implica $S_u=0, \ \forall u \in[t,T]$.
¡Muchas gracias por tu ayuda!

Answer 1

Intuitivamente, una vez que una acción llega a cero el valor de la compañía subyacente está en quiebra y el valor permanece en cero (esto podría no ser cierto en el mundo real pero es una suposición común). Entonces, una vez que $S_t$ es cero, permanece en cero. Matemáticamente, si $S_t = 0$:

$$ \begin{align} dS_t &= rS_tdt+S_tdW_t \\ &= r \times 0 \times dt + 0 \times dW_t \\ &= 0. \end{align} $$