Con la función de producción que especificaste no obtendrás una función de producción per cápita 'limpia'.
De todas formas, para obtenerla en términos per cápita simplemente tienes que dividir ambos lados de la ecuación por $L$ y ya está.
En tu caso, la producción per cápita es:
$$\frac{Y}{L} =\frac{ K^ L^{\beta} E^ }{L} $$
Lo cual se simplifica a:
$$\frac{Y}{L} = K^L^{-1} E^ $$
Si deseas una ecuación más bonita, utiliza la función de producción Cobb-Douglas. Es decir, establece $\beta = 1-\alpha - $ y asume $\alpha, >0$. Entonces obtendrás una bonita ecuación de producción per cápita:
$$\frac{Y}{L} = \frac{ K^ L^{1-\alpha - } E^ }{L}$$
Esto se puede reorganizar como:
$$\frac{Y}{L} = \frac{ K^ E^ }{L^\alpha L^ }$$
Lo cual se simplifica a:
$$\frac{Y}{L} = \left(\frac{ K}{L}\right)^ \left(\frac{ E}{L}\right)^ $$
Luego puedes usar minúsculas para denotar las variables per cápita y obtener una función de producción per cápita 'bonita':
$$y= \left(k\right)^ \left(e\right)^ $$