Si no existe arbitraje, entonces se cumple la ley del único precio, pero la existencia de la ley del único precio no siempre implica que no exista arbitraje". ¿Para demostrar esto, cuál es un ejemplo donde se cumple la ley del único precio, pero no existe arbitraje? Además, ¿cómo se aplica este concepto en ingeniería financiera? ¿Y qué recursos serían beneficiosos para una demostración matemática de este concepto? Gracias.
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drN
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Un ejemplo de libro de texto simple es el siguiente. Considera un mercado discreto con dos activos y un paso en el tiempo: $B_0=-0.1$, $B_1(\omega)=1 \;\forall\omega\in\Omega$ y $S_0=-0.2$ y $S_1(\omega)=2\;\forall\omega\in\Omega$. Aquí, $\Omega$ es el conjunto de todos los resultados. Reconociendo que un ejemplo simple con $S_t=2B_t$...
Cualquier cartera en este mercado puede ser caracterizada por $\varphi=(\varphi^B,\varphi^S)$. El proceso de valor de esa cartera es \begin{align} V_0(\varphi) &= -0.1\varphi^B - 0.2\varphi^S, \\ V_1(\varphi) &= \varphi^B+2\varphi^S=-10V_0. \end{align}
Este mercado claramente contiene arbitrajes. Pide prestado dinero para comprar la acción, obtén algo de dinero ahora y espera un período para ser aún más rico.
Sin embargo, no encontrarás ninguna violación de LOP en este mercado. Para ver esto, supongamos que tienes dos estrategias de negociación autofinanciadas $\varphi,\psi$ con $V_1(\varphi)=V_1(\psi)$. LOP requiere que $V_0(\varphi)=V_0(\psi)$, lo cual es cierto porque $V_1(\varphi)=-10V_0(\varphi)$ y $V_1(\psi)=-10V_0(\psi)$.
Aunque los académicos distinguen entre la Ley del Precio Único, Sin Arbitraje, Sin Almuerzo Gratis con Riesgo Desvanecido, Sin Almuerzo Gratis con Riesgo Acotado, y las propiedades Sin Almuerzo Gratis, probablemente importe poco en la vida real. Esas diferencias son técnicas y los conceptos son casi seguramente idénticos para todos los propósitos prácticos.
