Considere el siguiente modelo AR(1):
\begin{equation} Y_t = \alpha + \phi Y_{t-1} + \varepsilon_t \end{equation}
Quiero probar la existencia de una raíz unitaria para $Y_t$, por lo tanto, tengo la intención de implementar una prueba de Dickey-Fuller. ¿Podría proporcionar información sobre por qué la estadística t estándar, $\frac{\hat{\phi}-1}{se(\hat{\phi})}$ no funciona?
El problema en el caso de raíz unitaria es que el estadístico t no sigue una distribución t, ni siquiera asintóticamente. El problema radica en la distribución del estimador de MCO, $\hat{\phi}$. En el caso de raíz unitaria, la varianza de $Y_t$ no está definida. Sin embargo, para cualquier tamaño de muestra finito, se puede obtener una estimación finita de la varianza de $Y_t$.
Para entender un poco mejor, bajo($H_0$) verdadero, es decir, en el caso de raíz unitaria, la distribución empírica del estadístico t difiere de la distribución t teórica. Esta discrepancia surge porque la varianza de $Y_t$ aumenta a medida que avanza el tiempo, haciendo que la distribución empírica del estadístico t se vuelva cada vez más ancha. El estadístico t diverge a una tasa de $T^{1/2}$, superando así cualquier valor crítico finito con probabilidad 1.
En realidad, la distribución está sesgada hacia la izquierda, lo que resulta en valores críticos más pequeños que los de la distribución t. En otras palabras, se requiere una tabla de valores críticos de Dickey-Fuller; de lo contrario, hay una tendencia a rechazar la hipótesis nula con demasiada frecuencia
Pareces estar confundido/a sobre el tema.
El estadístico $t$ estándar funciona, el estadístico de prueba que obtendrás al estimar el modelo AR sigue siendo un estadístico $t$.
Lo que ya no funciona son los valores críticos que normalmente usas con los estadísticos $t$ regulares.
La razón por la que ya no puedes usar los valores críticos estándar es que bajo la hipótesis nula, $\hat{\psi}$ ya no está distribuido como un $t$ (debido a la raíz unitaria), mientras que en el modelo AR estacionario este problema no surge.
Por lo tanto, los valores críticos para la prueba deben extraerse de la distribución de Dickey-Fuller. Sin embargo, eso no significa que los estadísticos de prueba (es decir, el número que obtienes) no sean estadísticos $t$. De hecho, hay pruebas que no utilizan estadísticos $t$, y eso se hace cuando los valores de parámetros esperados siguen una distribución diferente a la distribución $t$, pero ese no es realmente el caso para la prueba DF.
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