En Teoría Microeconómica de Mas-Colell et al. la Proposición 3.E.1(ii) (p. 58) establece que si $\succsim$ es una relación de preferencia racional (es decir, completa y transitiva), continua y localmente no saciada en ($X\equiv\mathbb{R}_{+}^L$) representada por la función de utilidad continua $u(\cdot)$, entonces $x^*\in\text{arg}\min\{p\cdot x:u(x)\ge \underline{u}>u(0)\}$ implica $x^*\in\text{arg}\max\{u(x):p\cdot x\le p\cdot x^*\}$ (es decir, que bajo las suposiciones la solución del EMP también resuelve el UMP).
Ahora tengo problemas para descifrar un paso de la prueba (en negrita). La demostración es la siguiente.
Prueba. Supongamos que $x^*\in\text{arg}\min\{p\cdot x:u(x)\ge u(x^*)>u(0)\}$ y $x^*\notin\text{arg}\max\{u(x):p\cdot x\le p\cdot x^*\}$. Primero notamos que $x^*\ne0$. Ahora, por nuestra hipótesis tenemos que existe $x'\in X$ tal que $u(x')>u(x^*)$ y $p\cdot x'\le p\cdot x^*$. Consideremos un conjunto $x''=\alpha x'$ donde $\alpha\in(0,1)$ ($x''$ es una versión escalada de $x'$). Por continuidad de $u(\cdot)$, si $\alpha$ está suficientemente cerca de $1$, entonces tendremos $u(x'')>u(x^*)$ y $p\cdot x''. Y la conclusión claramente se deduce del argumento anterior. $\square$
No entiendo el argumento en negrita (que transcribí exactamente como en el libro), supongo que tiene algo que ver con la continuidad de las preferencias que en el límite (es decir, "$\alpha$ cerca de $1$") $x''\succ x'$ pero no veo cómo, creo que debería construir alguna secuencia como $(1-1/(n+1))x'$ que en el límite tiene esa propiedad, pero no estoy seguro de cómo ver este argumento.
Agradecería mucho si alguien pudiera señalarme el argumento subyacente del razonamiento mencionado.
Gracias.
