Demostrando el Teorema de la Utilidad Esperada

Question

Estoy luchando por entender la prueba del segundo paso en el Teorema de la Utilidad Esperada, particularmente la parte que trata sobre las preferencias sobre sumas ponderadas de loterías. La afirmación que estoy tratando de demostrar es:

Para la lotería posible mejor $ L_h $ y la peor lotería posible $ L_l $, la lotería compuesta $ bL_h + (1-b)L_l $ es preferida sobre $ aL_h + (1-a)L_l $ si y solo si $ b > a $.

He intentado demostrarlo por contradicción pero he encontrado dificultades para mostrar rigurosamente cómo tener 'más' de $ L_h $ en una lotería sobre otra implica que debería ser preferida. Por supuesto, entiendo la intuición, pero estoy luchando con la demostración formal usando el axioma de la independencia.

Gracias de antemano por tu ayuda

Answer 1

Tenemos que $L_h \succ L_l$.

Entonces, como $L_h \succ L_l$, tenemos por IIA que para $b \in ]0,1[$ $$ b L_h + (1-b) L_l \succ b L_l + (1-b) L_l = L_l. $$ Luego, como $b L_h + (1-b) L_l \succeq L_l$, tenemos nuevamente por IIA que para todo $q \in ]0,1[$ $$ q(b L_h + (1-b) L_l) + (1-q) (b L_h + (1-b) L_l) \succ q L_l + (1-q)(b L_h + (1-b) L_l)$$ Simplificando obtenemos: $$ b L_h + (1-b) L_l \succ (1-q) b L_h + [(1-b) + bq] L_l $$ Ahora, tomamos $q = \frac{b- a}{b} \in ]0,1[$ (porque $b > a$). Esto nos da: $$ b L_h + (1-b) L_l \succ a L_h + (1-a) L_l. $$