Piso vs Receptor Swaption con igual strike

Question

Supongamos que tenemos los siguientes dos instrumentos.

1. Un floor de 5x10 (suelo a 5 años, cinco años hacia adelante) con un strike del 4% en 1 año SOFR y
2. Un swaption receptor europeo de 5 en 5 (derecho a entrar en un intercambio de 5 años, comenzando en 5 años) con un strike del 4% en 1 año SOFR.

En otras palabras, los instrumentos son de otra manera idénticos (strike, subyacente y vencimiento), excepto que uno es un floor y el otro es un receptor.

¿Podemos decir definitivamente cuál vale más?

Intuitivamente, tiene sentido que el floor debería valer al menos tanto como el swaption receptor. Pero ¿podemos decir, por ejemplo, que el floor siempre vale más?

Answer 1

Diría que el piso siempre debería valer más que el swaption.

La volatilidad en el swaption es un promedio de la volatilidad esperada de los forwards (promediado hasta cierto punto). Intuitivamente tiene sentido que a menos que los forwards tengan una correlación de 1, las primas de los swaption deberían ser más bajas que las primas de los pisos.

Es decir, una cuña siempre debería operar en positivo. Obviamente, se aplican consideraciones de liquidez de oferta/demanda. Ya que el mercado de cap floor es mucho menos líquido que el mercado de volatilidad de swaption.

Answer 2

Esta es una pregunta clásica y ha sido formulada / abordada varias veces en este foro en respuestas anteriores. Basta decir que un $K$-strike receptor de swaption $\leq$ un piso de $K$-strike y esta desigualdad es estricta si las tasas forward subyacentes no están correlacionadas, como se muestra por argumentos sin arbitraje que se remontan hasta Merton (1973).

El problema es que estos mercados se negocian por separado por razones históricas, principalmente porque los dos productos sirven para diferentes propósitos en las necesidades de cobertura de tasas de interés de los inversores. Por lo tanto, esto desorganiza sus similitudes matemáticas íntimas.

La pregunta más relevante es cuánto más debería valer el piso que el rec swaption. Se puede responder a esto de varias maneras:

1. La forma académica / técnica es analizar la correlación de la estructura de tasas forward/fwd (la variable estatal para la valoración de pisos) y, crucialmente, cómo estas tasas forward cortas están relacionadas con las tasas forward de swap (la variable estatal para la valoración de swaptions) - y finalmente contextualizar estas correlaciones con las volatilidades de cada uno de estos productos... etc.
2. Por otro lado, la manera del mercado/practicante es simplemente comerciar las cuñas de piso/receptor como un único producto por derecho propio.

Nótese que 1. generalmente emplea alguna forma de análisis histórico de las tasas forward que conducen a lo que se puede pensar como correlaciones "realizadas" de tasas forward/fwd, mientras que 2. proporciona las correlaciones "implícitas" correspondientes. Una comprensión completa justifica ambos enfoques.

Estos análisis/correlaciones de mercado tienen consecuencias de gran alcance para comprender los mercados de volatilidad forward (y, por lo tanto, la valoración de swaptions bermudas / criterios de ejercicio óptimos), swaptions de curva media, técnicas de calibración LMM y, por lo tanto, exóticos en general.

Entonces, lo que parece una pregunta relativamente sencilla en realidad tiene implicaciones bastante profundas.

Una buena (aunque algo desactualizada) referencia es The Relative Valuation of Caps and Swaptions: Theory and Empirical Evidence de Longstaff, Santa-Clara y Schwartz, J. Fin. 2001. También consultar Stephen Blyth: An Introduction to Quantitative Finance, OUP (2014), Capítulo 12.

Answer 3

Para la valoración de una curva única (con la misma financiación/descontado y curva forward), con el índice $L(T_{i-1},T_i)$ y su expectativa forward $T_i$-forward $F(T_m,T_{i-1},T_i)$ (tasa forward del índice en $T_m$), tenemos (para tiempos $T_m\leq T_{m+1}\leq \ldots \leq T_n$):

$$ \left(\sum_{i=m+1}^n P(T_m,, T_i)\tau_i(K-F(T_m,T_{i-1},T_i))\right)^+ $$ $$ \leq\sum_{i=m+1}^n P(T_m,, T_i)\tau_i(K-F(T_m,T_{i-1},T_i))^+ $$ $$ \leq \sum_{i=m+1}^n P(T_m,, T_i)\tau_i\mathbb{E}^{T_i}_{T_m}\left[(K-L(T_{i-1},T_i))^+\right], $$ donde el primer término es el valor presente en el tiempo $T_m$ de un swaption de receptor (entrega física), y el último término es el de un piso. Las desigualdades provienen de la convectividad de la función $^+$ ($x^+ = \max(x,0)$) y la desigualdad de Jensen.

Los valores presentes después de $T_m$ pueden volverse más complicados en el lado del piso, si por 'SOFR' nos referimos a la tasa retrospectiva basada en la indexación del índice SOFR durante la noche (cuando la fecha de valoración cae entre $T_{i-1}$ y $T_i$), en lugar de la tasa prospectiva basada en el índice SOFR a término.