Fórmula para la tasa de interés en aumento continuo

Question

¿Existe una fórmula estandarizada para el aumento continuo de la tasa de interés de una inversión? Dada una fórmula de interés compuesto de A = P(1 + (r/n)^nt), ¿hay alguna forma de combinar la capitalización diaria con una tasa de interés que aumenta continuamente, comenzando cada año en x y terminándolo con un aumento del y%?

Answer 1

Aunque una tasa de crecimiento continuamente creciente sería un escenario práctico poco probable, la pregunta se responde aquí por diversión matemática.

Aquí hay un ejemplo simple, componiendo z durante 4 años con una tasa de interés x que aumenta en y por ciento anualmente.

z = 100
x = 0.05
y = 0.10

cantidad inicial   a = z = 100
después del año 1   a = a (1 + x (1 + y)^0) = 105
después del año 2   a = a (1 + x (1 + y)^1) = 110.775
después del año 3   a = a (1 + x (1 + y)^2) = 117.477
después del año 4   a = a (1 + x (1 + y)^3) = 125.295

Expresado como una fórmula, con m = 4

=125.295)

La expresión no se simplifica a una forma cerrada.

Equivalente en Excel

=100*PRODUCT(1 + 0.05*(1 + 0.1)^(SEQUENCE(4)-1))

125.295

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El mismo método se puede utilizar con tasas mensuales o diarias, en cuyo caso la tasa de interés aumentará mensual o diariamente respectivamente, adecuado para la capitalización mensual o diaria.

Por ejemplo, con una tasa de interés mensual inicial x que aumenta cada mes en y (0.8%)

z = 100
x = 0.004
y = 0.008

año 1 mes 1 tasa = 0.004                = 0.400000 %
año 1 mes 2 tasa = 0.004*(1 + 0.008)    = 0.403200 %
año 1 mes 3 tasa = 0.004*(1 + 0.008)^2  = 0.406426 %
año 1 mes 4 tasa = 0.004*(1 + 0.008)^3  = 0.409677 %
...
año 2 mes 1 tasa = 0.004*(1 + 0.008)^12 = 0.440135 %
etc.

en este caso, la tasa mensual aumentará un 10.034% de un año a otro, por ejemplo.

0.440135 % / 0.4 % - 1 = 10.034 %

Capitalizando la cantidad z durante 48 meses con estas tasas

=100*PRODUCT(1 + 0.004*(1 + 0.008)^(SEQUENCE(48)-1))

126.16

Answer 2

Como se indica en el comentario de la respuesta, esto requiere una función exponencial. Para una tasa anual de y% (digamos 0.05), toma z = ln(1+y) = 0.04879... como la tasa de interés continua. Ahora puedes tomar exp(t * z) y para cualquier tiempo t (años, puede ser cualquier fracción) obtendrás el resultado compuesto continuo.