¿Por qué un modelo AR(1) con un coeficiente pequeño muestra una reversión más rápida a la media que uno con un coeficiente mayor (cuando |$\beta$|<1)?

Question

Supongamos que tenemos dos modelos AR(1) de reversión a la media, dados por

$$X_{t}=\beta X_{t-1}+\epsilon_t,$$

donde $|\beta|<1$.

La rapidez con la que la serie vuelve a su media está determinada por el coeficiente $\beta$. Hasta donde sé, un valor mayor de $\beta$ implica una reversión más rápida a la media. Sin embargo, simulé dos series temporales utilizando el modelo AR(1) dado anteriormente con $\beta=0.1$ y $\beta = 0.9$. Presumiblemente, la serie con un coeficiente de 0.9 debería revertir a la media más rápido que la que tiene un coeficiente de 0.1. Sin embargo, los gráficos a continuación sugieren lo contrario -- el AR(1) con un coeficiente de 0.1 es un proceso de reversión a la media más rápido que el AR(1) con un coeficiente de 0.9. ¿Por qué?

Answer 1

Parece que tienes la intuición al revés. La expectativa condicional de $Y_t$ dado $Y_{t-1}$ es $\beta Y_{t-1}$. Es decir, $\mathbb{E}(Y_t|Y_{t-1})=\beta Y_{t-1}$. (Utilizamos el hecho de que $\mathbb{E}(\epsilon_t|Y_{t-1})=0$).
Si $\beta$ está cerca de 1, $\mathbb{E}(Y_t|Y_{t-1})=\beta Y_{t-1}$ está cerca de $1\cdot Y_{t-1}=Y_{t-1}$, por lo tanto, hay poca reversión a la media. La serie se mantiene cerca de donde estaba, en promedio.
Si $\beta$ está cerca de 0, $\mathbb{E}(Y_t|Y_{t-1})=\beta Y_{t-1}$ está cerca de $0\cdot Y_{t-1}=0$, por lo tanto, hay una rápida reversión a la media. La serie tiende a cero (que es su media a largo plazo), en promedio.