¿Tiene algún valor tangible la PCA para la curva de rendimiento?

Question

Soy consciente de una abundante literatura sobre la aplicación del Análisis de Componentes Principales (PCA) para curvas de rendimiento. Todos estos documentos me parecen simplemente resultados orientados a la estadística. La mayoría de los documentos argumentan que al "descodificar" la curva de rendimiento aplicando PCA, podemos explicar los movimientos de la curva de rendimiento. Y el resultado de la aplicación son solo 3 CPs, es decir, nivel, pendiente y curvatura, los cuales no tienen ninguna interpretación económica (hasta donde yo sé, algunos autores intentan dar alguna interpretación económica, pero esas no me parecen convincentes).

Pregunta ¿Cuál es el uso aplicado de PCA para las curvas de rendimiento? ¿Hay algún ejemplo real de esto?

Answer 1

Mi opinión se resume en mi libro "Pricing and Trading Interest Rate Derivatives". En él doy un capítulo sobre el cálculo de PCA y demuestro cálculos y aplicaciones. Pero mi evaluación franca general es que no soy partidario de usar PCA.

Eso no quiere decir que no tenga mérito, solo tengo la opinión de que hay mejores métodos, que lo superan, por varias razones diferentes.

Un par de ejemplos:

¿Usar PCA para la gestión del riesgo?: No gracias, prefiero usar herramientas relacionadas con VaR bajo una distribución normal multivariante asumida. La distribución utiliza exactamente la misma matriz de covarianza a partir de la cual se calcula el PCA, pero se puede hacer mucho más (analíticamente) con el análisis de VaR que es más relacionable con los instrumentos reales que se pueden negociar en un mercado. Nunca, prácticamente se puede negociar un PC de forma aislada, por lo que su propiedad de independencia de otro PC (que es básicamente uno de los principales defensores de la teoría) carece de importancia.

¿Usar PCA para generar movimientos de mercado simulados?: No gracias, ya que el PCA se genera a partir de una matriz de covarianza, que es una matriz simétrica y definida positiva, simplemente usa la descomposición de Cholesky y una serie de variables normales aleatorias en su lugar. Es más fácil de hacer matemáticamente con el mismo resultado.

Debo añadir que realmente intenté meterme en PCA varias veces a lo largo de los años y tratar de encontrar una manera para que realmente funcionara para mí. ¡Y lo intenté mucho! Pero no pude.

Aunque probablemente lo usaría para crear una matriz de correlación suave (sin ruido). El enfoque del hombre pobre consiste en seleccionar los primeros PC y reconstituir una matriz de correlación a partir de ellos. Pero posiblemente, si buscara lo suficiente en la investigación, podría haber una mejor manera de hacerlo que usando PCA también. Mi ignorancia en este problema aquí probablemente le da una mano a PCA.

Answer 2

Déjenme, como suele suceder, discrepar con todos ;)

Actualmente está ocurriendo una disputa entre LeCun y Musk sobre qué es la ciencia. Para simplificar, la ciencia consiste, entre otras cosas, en encontrar formas eficientes de registrar las cantidades observadas. Comprimiéndolas, por así decirlo. El PCA es un maravilloso ejemplo de esto.

1. Como ya se mencionó, limpiar la matriz de correlación ya es algo bueno. Sin embargo, utilizar dicha matriz para justificar el "riesgo de mercado" de varianza/covarianza bajo el supuesto conjuntamente gaussiano no es bueno. La varianza/covarianza es mala, a pesar de que FRTB SA intenta legitimarla de la forma más brutal.

2. Hacer VAR/ES no paramétrico en los factores principales es quizás mejor que en los mismos factores, si el PCA indicó una menor dimensionalidad. En términos prácticos, el intervalo de confianza de VAR (que, al ser una estadística, tiene un intervalo de confianza) será menor. Dicho esto, en un mundo donde AR(n) se estima rutinariamente mediante regresiones, ¿a quién le importa?

El verdadero valor de una menor dimensionalidad radica en el riesgo a largo plazo.

3. Para los problemas de fijación de precios no lineales hasta e incluyendo XVA te da un mucho mejor control de la especificación del modelo. Usarás usualmente un HJM/Cheyette de baja dimensionalidad, por lo que necesitas tanto una matriz de correlación histórica sensata como simplemente el recuento de los factores para las dinámicas.

4. Para problemas de riesgo a largo plazo, como el riesgo de contraparte, riesgo del modelo, escenarios compuestos estocásticos/deterministas y diseño de estrategias comerciales, necesitas equilibrar la riqueza del modelo para no perder los componentes esenciales, con mantener la menor cantidad de factores posible por razones de rendimiento.

Finalmente, diría que modelizar las curvas de tasas es, quizás, el problema multifactor más fácil. Esto se debe a que los procesos son más o menos estacionarios, por lo que el PCA es más bien una herramienta adicional agradable.

El PCA como panacea percibida para la reducción de la dimensionalidad en la modelización de las familias de las cantidades similares a los activos resulta en que los investigadores se apresuran a modelar la dependencia entre los retornos (con el objetivo de hacer el PCA de sus matrices de correlación) y posiblemente se pierdan cosas como la cointegración o GARCH. Ahora bien, esto es miope y malo.

Formas de las curvas del USD Libor en los últimos años. Fuente: BBG

Answer 3

Algunos pensamientos - lo siento, demasiado largo para un comentario.

Diferentes medidas de riesgo son más útiles para diferentes usos y diferentes usuarios. Por ejemplo, imagina a un trader de "primera línea" que toma opiniones como "¡Apuesto a que la diferencia entre los bonos del Tesoro de EE. UU. a 10 años y a 2 años se ampliará!", sabe que su cartera no tiene mucha sensibilidad a un cambio paralelo de la curva, no le importan otras sensibilidades que considere poco importantes, ni siquiera le importa la sensibilidad al 2do PC histórico porque cree ver el futuro mejor que lo que predice la historia y que los demás participantes del mercado, lo cual está bien. En una organización lo suficientemente grande, habrá una persona de riesgo de "segunda línea", cuyo pago no mejora si la persona de "primera línea" gana su apuesta, que podría querer monitorear las sensibilidades a cierto número de desviaciones estándar del 2do PC, proporcionando un poco más de detalle que el VaR, que mezcla todo en un solo número, y las sensibilidades a 1bp, que no utilizan volatilidades históricas.

Por ejemplo, considera el riesgo de tasa de interés de un forward de fx, donde en 1 año pagarás una cantidad de USD y recibirás una cantidad de moneda local de mercado emergente cuyo valor presente en este momento tiene el mismo orden de magnitud que la pata en USD. Supongamos que ves un informe de riesgo que muestra que el valor de mercado de la pata en USD cambiará por cierta cantidad si la tasa de interés en USD se mueve 1bp (es decir, el dv01); y de manera similar, por una cantidad mucho menor, la cual cambiará el valor presente en dólares de la pata en moneda local si la tasa de interés en moneda local se mueve 1bp. Eso parece confuso e inútil, hasta que recuerdas que la tasa de interés en moneda local es aproximadamente el 50% anual, y fluctúa históricamente cientos de puntos básicos todos los días. El VaR es más informativo, pero es un solo número. Pocas personas tienen una herramienta de VaR que muestre el VaR compuesto o el VaR de margen hasta el nivel de una pata de un forward de fx. Mientras que, expresando las sensibilidades a las tasas de interés como un impacto en dólares de 1 desviación estándar del primer PC, combinando así la sensibilidad con la volatilidad histórica, muestra más que el dv01.

O, imagina a un trader junior de "primera línea" cuyo trabajo es eliminar el riesgo de tasa no deseado que surge como un efecto secundario de traders más senior tomando apuestas en spreads de crédito o materias primas. Las únicas medidas de riesgo que le importan son aquellas con las que se le ha encargado eliminar, calculadas por los diferentes modelos de precios. Su persona de riesgo del mercado de segunda línea podría verificar que está eliminando adecuadamente y considerar si se deben calcular más sensibilidades. Su persona de control de productos de segunda línea podría estar observando las sensibilidades a instrumentos de ajuste de curva, es decir, futuros, para minimizar las ganancias y pérdidas no explicadas, en lugar de a los swaps par de 18m, 1y, 2y... que los de riesgo de mercado podrían estar monitoreando. Su persona de riesgo de modelo de segunda línea podría estar monitoreando algunos cruces entre las tasas de interés y el tiempo en el contexto del monitoreo continuo del rendimiento de los modelos de precios. Etc

Frecuentemente, las sensibilidades de los factores necesitan ser agregables. Si eres el único que mira tu riesgo, entonces puedes elegir tus franjas de vencimiento para que sean solo de 0 a 2 años y de 2 años a $\infty$, y buscar sensibilidades a tasas forward, en lugar de tasas par. Pero si una persona de segunda línea necesita sumar tus sensibilidades con las de otra persona, entonces necesitas ponerte de acuerdo en qué factores de mercado se están perturbando y cómo. Por ejemplo, no querrás sumar la sensibilidad de una cartera a una tasa forward bajando 1bp con la sensibilidad de otra cartera a una tasa par subiendo 1bp. Si quieres sensibilidades al PC, entonces querrás asegurarte de que todos usen las mismas ponderaciones.

VaR/ES/SVaR no es suficiente. Ya que todos recordamos LTCM, recordemos lo que los mató, un trade mucho más simple que las cosas complicadas con las que ganaron mucho dinero:

• recibir Tesoro de EE. UU. + Fijo

• pagar tasa de swap USD

Su visión era simplemente que la propagación entre la tasa de swap y los bonos del Tesoro sería usualmente menor que lo Fijo. Pero Sandy Weill decidió deshacer la book de Relative Value de Salomon, y la tasa de swap se amplió en relación a los bonos del Tesoro como nunca lo había hecho históricamente, y LTCM no pudo responder a los llamados de margen. No verías esta posibilidad en el VaR. Necesitarías examinar la sensibilidad de la propagación para decidir si está dentro de tu apetito de riesgo. O, considera lo que sucedió con la base de efectivo-futuros en marzo de 2020 - se amplió como nunca antes.

El cálculo MC para el VaR de tasa de interés es complicado. Si simulas cada vencimiento con volatilidades y correlaciones, y observas los escenarios en la cola, sentirás que estos escenarios no parecen realistas - a pesar de tener las volatilidades y correlaciones especificadas, la curva simplemente no se mueve como en estos escenarios. Si usas solo los primeros 3 PCs para MC, entonces las simulaciones no serán lo suficientemente inusuales. Necesitas usar al menos 5-6 PCs.