¿Cómo se derivaron las tasas de ahorro en la Trampa de Impaciencia de Azariadis (1996)?

Question

El hogar maximiza su función de utilidad a lo largo de su vida de acuerdo con $$ \max_{c_1, c_2} v(c_1, c_2) := \frac{1}{\beta(c_1)} \log c_1 + \log c_2 - A(c_1, c_2) $$ sujeto a $$ \beta(c_1) = \begin{cases} \beta_1 > 0 &\text{ y } A(c_1, c_2) = 0 & \text{ si } c_1 < \bar{c} \\ \beta_2 > \beta_1 &\text{ y } A(c_1, c_2) = \frac{\beta_2-\beta_1}{\beta_1\beta_2} \log c_2 & \text{ si } c_1 > \bar{c} \end{cases} $$ La restricción presupuestaria es $$ c_1 + \frac{c_2}{R_{t+1}} \leq w_t $$

1. ¿Cómo derivó los ahorros de la siguiente manera $$ s_t = \begin{cases} \frac{\beta_1}{1+\beta_1} w_t & \text{ si } w_t \leq (1+\beta_1) \bar{c}, \\ w_t - \bar{c} & \text{ si } w_t \in \left[ (1+\beta_1)\bar{c}, (1+\beta_2)\bar{c} \right], \\ \frac{\beta_2}{1+\beta_2} w_t & \text{ si } w_t > (1+\beta_2) \bar{c} \end{cases} $$
2. ¿Hay alguna razón en particular por la cual asume $A = \frac{\beta_2-\beta_1}{\beta_1\beta_2} \log c_2$ cuando $c_1 > \bar{c}$?

Esta es la sección 3.1 de Azariadis (1996): The Economics of Poverty Traps Part One: Complete Markets en JEG.

Answer 1

La función de utilidad del hogar es $$ v(c_1, c_2) := \frac{1}{\beta(c_1)} \log c_1 + \log c_2 - A(c_1, c_2) $$ donde $$ \beta(c_1) = \begin{cases} \beta_1 > 0 &\text{ y } A(c_1, c_2) = 0 & \text{ si } c_1 < \bar{c} \\ \beta_2 > \beta_1 &\text{ y } A(c_1, c_2) = \frac{\beta_2-\beta_1}{\beta_1\beta_2} \log c_2 & \text{ si } c_1 > \bar{c} \end{cases} $$

Podemos reescribir la función de utilidad del hogar como: $$v(c_1, c_2) :=\begin{cases} \frac{1}{\beta_1} \log c_1 + \log c_2 & \text{ si } c_1 < \bar{c} \\ \frac{1}{\beta_2} \log c_1 + \log c_2 - \frac{\beta_2-\beta_1}{\beta_1\beta_2} \log c_2 & \text{ si } c_1 \geq \bar{c} \end{cases}$$

En el artículo, se menciona que $v$ es una función de utilidad continua, diferenciable por piezas. Sin embargo, podemos ver que $v$ como se describe arriba no es continua en $c_1=\bar{c}$. De hecho, $v$ no es tampoco monótona.