Valor de un contrato a término prueba

Question

Estoy leyendo el libro - "Mathematics for Finance: An Introduction to Financial Engineering" por Marek Capinski y Tomasz Zastawniak. Estoy revisando la prueba del Teorema 6.4 - Para cualquier $t$ tal que $0 t T$ el valor en el tiempo $t$ de un contrato forward largo con precio forward $F(0, T)$ está dado por $V(t) = [F(t, T) F(0, T)]e^{r(Tt)}$.

Entendí el caso en el que los autores demostraron que $V(t)$ no puede ser menor que $[F(t, T) F(0,T)]e^{r(Tt)}$ construyendo una estrategia de arbitraje.

Sin embargo, no logro entender el segundo caso (Ejercicio 6.6) donde los autores demostraron que $V(t)$ no puede ser mayor que $[F(t, T) F(0, T)]e^{r(Tt)}$ construyendo una estrategia de arbitraje al final del libro. Su prueba es la siguiente:

En el tiempo $t$ • pedir prestado y pagar (o recibir e invertir, si es negativo) la cantidad $V(t)$ para adquirir un contrato forward corto con precio forward $F(0, T)$ y fecha de entrega $T$, • abrir un nuevo contrato forward largo con precio forward $F(t, T)$ sin costo alguno.

Luego en el tiempo $T$ • cerrar ambos contratos forward recibiendo (o pagando, si es negativo) las cantidades $S(T) F(0, T)$ y $S(T) F(t, T)$, respectivamente; • recolectar $V(t)e^{r(Tt)}$ de la inversión libre de riesgo, con interés. El balance final $V(t)e^{r(Tt)} [F(t, T) F(0, T)] > 0$ será tu ganancia de arbitraje.

Mi pregunta es si $V(t)$ es positivo y si en el tiempo $t$, estamos pidiendo prestado $V(t)$ para adquirir un contrato forward corto con precio forward $F(0,T)$, ¿no tendremos que devolver $V(t)e^{r(Tt)}$ al banco? En ese caso, ¿no tendremos en el balance final $-V(t)e^{r(Tt)} [F(t, T) F(0, T)]$ (un símbolo de menos viene antes de $V(t)$ ya que debes liquidar el préstamo con interés en el tiempo $T$)??

Answer 1

La pregunta no está contenida en sí misma y es difícil de responder si uno no conoce ese libro. Con la notación

• $S_t$ precio del activo, $K$ precio a futuro, $T$ madurez, $r$ tasa libre de riesgo

y asumiendo dividendos cero, el valor presente del contrato a futuro es $$ V_t=S_t-e^{-r(T-t)}K\,. $$ Cuando inicialmente vendemos esto por $V_0$ podemos usar ese efectivo para establecer una estrategia de trading autofinanciada que nos brinde el pago $$ H_T=S_T-K $$ en el tiempo $T\,.$ Para hacerlo mantenemos una unidad de la acción en todo momento y $$ \beta_t=\frac{V_t-S_t}{e^{rt}}=-e^{-rT}K $$ unidades de la cuenta del mercado monetario $B_t=e^{rt}\,.$ Para ver que esto es autofinanciado es totalmente simple:

Dado que ambos pesos de la cartera son constantes: $$ dV_t=dS_t+d(\beta_tB_t)=dS_t+\beta_tdB_t\,. $$ Por lo tanto, esta estrategia es autofinanciada. A partir de esta relación también se sigue que $$ V_T-V_0=S_T-S_0-e^{-rT}K(B_T-B_0)=S_t-e^{-rT}K-V_0 $$ es decir: $V_T=H_T\,.$ La estrategia replica el pago.

Cuando $V_0$ fue inicialmente negativo, vendemos una unidad de $S_t$ e invertimos el excedente de efectivo en $B_t\,.$ Las fórmulas permanecen iguales.