¿Puede la axiomatización de la utilidad cardinal de Debreu usar una relación equivalente en lugar de una relación de preferencia?

Question

Teorema ([Debreu 1959][1] página 9, 10) Sea $X_i$ un espacio de números reales. Si $\succsim$ es continua, racional, independiente y al menos tres factores son esenciales, entonces existen funciones $u_i:X_i\rightarrow \mathbb{R}$ tales que $$ x\succsim y\iff \sum_{i=1}^n u_i (x_i) \geqslant \sum_{i=1}^n u_i (y_i). $$

Independencia significa: $x_Iy\succsim x_Iy'\implies x'_Iy\succsim x'_Iy'$

Pregunta: ¿se puede cambiar la relación de preferencia en independencia a una relación de equivalencia?

Lo cual significa: $x_Iy\sim x_Iy'\implies x'_Iy\sim x'_Iy'$.

Tal vez necesitemos agregar algunas condiciones de monotonicidad.

Answer 1

Aquí hay una respuesta parcial: Las dos condiciones son equivalentes si las preferencias son estrictamente monótonas. Para ver esto, dejemos que $x_Iy\succ x_Iy'$. Sea $e=(1,1,\ldots,1)\in\mathbb{R}^n$. Por monotonía estricta y continuidad, existe (un único) $\alpha>0$ tal que $x_Iy\sim x_I(y'+\alpha e)$. Entonces, $x_I'y\sim x_I(y'+\alpha e)\succ x_Iy'$ por la condición y la monotonía estricta.