Como trivialidad matemática, la derivada de una función indicadora es cero, excepto en el umbral donde no existe.
Pero \begin{align} \mathbb E[\text{I}(i)] &= \mathbb E\big[\mathbf{1} \{ \eta^* - \eta(\beta(i)) + u(i) > 0 \}\big]\\ &=\Pr\big[\eta^* - \eta(\beta(i)) + u(i) > 0\big]\\ &= \Pr\big[ \eta(\beta(i)) \leq \eta^* + u(i)\big]\\ &=\Pr\big[ \beta(i) \leq \eta^{-1}(\eta^* + u(i))\big]. \end{align} ...asumiendo invertibilidad.
Esta es ahora la función de distribución de la variable aleatoria Uniforme en cuestión, $$\Pr\big[ \beta(i) \leq \eta^{-1}(\eta^* + u(i))\big] = \frac{\eta^{-1}(\eta^* + u(i))- (\chi-\epsilon)}{\chi+\epsilon-(\chi-\epsilon)} = \frac{\eta^{-1}(\eta^* + u(i))- (\chi-\epsilon)}{2\epsilon}$$.
Luego
$$\frac{\partial \mathbb E[\text{I}(i)]}{ \partial \beta(i)} = \frac 1 {2\epsilon}\cdot \frac{d\eta^{-1}}{d\beta(i)}$$,
y aplicando el teorema de la función inversa (parece ser así, ¿por qué y cómo es aplicable aquí?), obtenemos $$\frac{\partial \mathbb E[\text{I}(i)]}{ \partial \beta(i)} = \frac 1 {2\epsilon}\cdot \frac{1}{\frac{d\eta}{d\beta(i)}}= \frac 1 {2\epsilon}\cdot \frac{d\beta(i)}{d\eta}$$.
Entonces podría ser el "efecto marginal" en el valor esperado de la función indicadora.
Todas estas parecen, y son, un poco demasiado informales, y los detalles en el papel son cruciales. Por lo tanto, insto también al OP a proporcionar estos detalles o al menos una referencia completa al papel.
ADENDUM
Según lo informado por el OP,
El papel es "Patience and Comparative Development, The Review of Economic Studies, Volumen 89, Número 5, Octubre 2022"
Al mirar el papel, la expresión en cuestión es la ecuación $(5.11)$. Justo antes de eso, los autores escriben
Por lo tanto, representamos el análogo empírico de la decisión de convertirse en hábil como un modelo de probabilidad lineal..."
y está claro que
a) Esta función indicadora es la base de un modelo estándar de elección binaria / probabilidad condicional
b) Cualquier efecto marginal está en la probabilidad/valor esperado de la indicadora del evento que se realiza.
Los autores se refieren a los detalles en su Apéndice en línea "G". Yendo allí (Sección $G1$), leemos
"El efecto marginal de un aumento en la paciencia en la propensión de convertirse en hábil puede expresarse como"
...y luego usan el símbolo $\partial I /\partial \beta$. Pero "la propensión" es la probabilidad, el valor esperado de, y no la función indicadora de 0-1 en sí. Entonces, parece que esto es solo un error de notación, y lo que escribí arriba es válido.
