Presentación del sector productivo en una economía de intercambio donde solo un agente está dotado de insumos.

Question

Estoy tratando de encontrar un equilibrio competitivo para una economía con consumidores y un sector productivo externo. Considera una economía con dos bienes de consumo $x_1, x_2$ y dos individuos $A,B$. Las dotaciones son $\omega^A = (3,0), \omega^B = (0,3)$.

Hay un sector productivo que no es propiedad de ningún individuo y que toma el primer bien de consumo como entrada y produce el segundo bien de consumo a través de la función $y_2 = f(y_1) = a y_1$.

Mi pregunta es la siguiente: ¿cómo configuramos la restricción presupuestaria para el individuo $A$? Es el único agente que puede suministrar al firm sus insumos, por lo que podría ser $$p_1 x_1^A + p_2 x_2^A \le (3 + y_1) p_1,$$ pero en el nuevo equilibrio, ¿no reflejarán los precios y funciones de demanda la información de que $A$ es el único proveedor de $y_1$? Entonces la restricción presupuestaria debería ser $$ p_1 x_1^A + p_2 x_2^A \le 3 p_1.$$

Soy feliz de proporcionar más detalles.

Answer 1

El individuo 1 tiene 3 unidades del primer bien.

Supongamos que una parte $z \in [0,3]$ de este bien se usa para producir el bien 2. Entonces ella tendrá en total $(3 - z)$ unidades del bien 1 y $a z$ unidades del bien 2.

Si ella vende esos bienes en el mercado, recibirá: $$ p_1 (3 - z) + p_2 az. $$ Este ingreso luego se utilizará para comprar su paquete de consumo final.

Tenga en cuenta que lo mejor que puede hacer es elegir $z \in [0,3]$ para optimizar este presupuesto. En otras palabras, primero resolverá. $$ \max_{z \in [0,3]} 3 p_1 + (a p_2 - p_1)z. $$ Si $p_1 < a p_2$, ella elegirá $z = 3$, lo que le dará un ingreso total de: $$ 3 p_1 + (a p_2 - p_1)3 = 3 a p_2. $$ Si $p_1 > a p_2$, ella elegirá $z = 0$, lo que le dará un ingreso total de: $$ 3 p_1. $$ En otras palabras, su ingreso final estará determinado por: $\max\{3 a p_2, 3p_1\} = 3\max\{a p_2, p_1\}$.

Esto significa que su restricción presupuestaria se puede escribir como: $$ p_1 x_1^A + p_2 x_2^A \le 3 \max\{a p_2, p_1\}. $$