Recientemente he empezado a leer Teoría Microeconómica de Mas-Colell, Green y Whinston. En la sección 3.D, los autores definen la utilidad indirecta para un vector de precios $p$ y riqueza $w$ como la utilidad derivada de un conjunto de consumo que maximiza la utilidad $x^\star$, es decir, $v(p, w) = u(x^\star)$ para (cualquier) $x^\star \in x(p, w)$, donde $x(p, w)$ es la demanda marshalliana.
Ahora, el ejemplo 3.D.2 considera la función de utilidad Cobb-Douglas (en logaritmos) $u(x_1, x_2) = \alpha \ln x_1 + (1 - \alpha) \ln x_2$ para el caso de dos bienes, y muestra que la función de utilidad indirecta está dada por $v(p, w) = c + \ln w - \alpha \ln p_1 - (1 - \alpha) \ln p_2$ (donde $c$ es una constante poco interesante). El ejercicio 3.D.2 pide al lector que verifique las propiedades de la proposición 3.D.3 para esta función de utilidad indirecta.
La tercera de estas propiedades es la cuasiconvexidad de $v$, es decir, la convexidad del conjunto $\{ (p, w) : v(p, w) \le \bar v \}$ para cualquier $\bar v$. Estoy teniendo dificultades con esto y me gustaría pedir ayuda.
Hasta ahora, lo que he hecho es lo siguiente: fijemos $\bar v$, y supongamos que $p$, $p'$, $w$ y $w'$ son tales que $v(p, w) \le \bar v$ y $v(p', w') \le \bar v$. Sea $0 \le a \le 1$, y definamos $p'' = ap + (1-a)p'$, $w'' = aw + (1 - a)w'$. Entonces quiero demostrar que $v(p'', w'') \le \bar v$; para ello empecé a hacer calculos,
$$v(p'', w'') = ac + (1-a)c + \ln (aw + (1 - a) w') - \alpha \ln (ap_1 + (1-a)p_1') - (1 - \alpha) \ln (ap_2 - (1-a)p_2')$$
Ahora, $\ln$ es una función cóncava, por lo que $\ln (ap_1 + (1 - a)p_1') \ge a \ln p_1 + (1 - a)\ln p_1'$, etc. Por lo tanto, puedo reemplazar los dos últimos sumandos para obtener la desigualdad
$$v(p'', w'') \le ac + (1-a)c + \ln (aw + (1 - a) w') - a\alpha\ln p_1 - (1-a)\alpha\ln p_1' - a(1-\alpha)\ln p_2 - (1-a)(1-\alpha)\ln p_2'$$
que es casi pero no exactamente $av(p, w) + (1-a)v(p', w') \le a\bar v + (1-a)\bar v = \bar v$. El problema aquí está en el primer logaritmo, $\ln (aw + (1 - a) w')$. Solo sé que $\ln (aw + (1 - a) w') \ge a\ln w + (1-a) \ln w'$, pero esto no me ayuda ya que necesitaría que esta desigualdad se cumpliera en la dirección opuesta.
No he pensado mucho en esto por ahora, pero por el momento estoy atascado. Sé que, según la proposición 3.D.3, la cuasiconvexidad de $v$ debe ser una realidad, por lo que debería ser posible verificar esto mediante un cálculo directo. (Por supuesto, como todos sabemos, "es" y "debería ser" son dos cosas muy diferentes en economía.)
Agradecería cualquier consejo.
Nota: esto no es tarea. Estoy tomando un curso de microeconomía usando este libro de texto, pero estoy resolviendo estos ejercicios por mi cuenta para aprender, no porque el curso lo requiera.
