Desajuste de volatilidad en la calibración de SABR

Question

• Declaración del problema

Hola, estoy tratando de calibrar SABR en un nuevo activo, que no es la 'tasa de intercambio a futuro'. Mientras utilizo la calibración vanillaSABR, encuentro que el parámetro 'sigma' (uno de los parámetros del modelo, sigma, alpha, rho, beta) depende enormemente del valor absoluto de la huelga/precio-a-futuro. Es decir, si alimento al modelo con huelga/precio-a-futuro escalado, con la IV fija, la salida del modelo será completamente diferente.

• Ejemplo (https://github.com/0xJchen/SABR_Sample/blob/master/test.ipynb)

Sigo la implementación de vanillaSABR (que funciona bien con datos de tasa de intercambio).

Primero, estoy tratando de ajustar el modelo a los datos de opciones ETH.

forawrd_price=1600
strikes = [i*100 for i in range(11,22)]
time_to_expiration=0.2558724912480974 # aquí estoy usando datos de opciones ETH-29DIC23
iv=np.array([0.543,0.496,0.4613000000000001, 0.41789999999999994, 0.3821, 0.3626, 0.3608, 0.3738, 0.395,0.407,0.433])
model = SABR_swaption(F = forawrd_price, # tasa a futuro, escalar
                      K = strikes, # huelgas, vector (N X 1)
                      tiempo = time_to_expiration, # vencimiento (en años), escalar
                      vols = iv, # volatilidades de mercado observadas, vector (N X 1)
                      calibración="SLS_SciPy",
                      beta = 0.5)
model.plot_smile()

print(model.alpha, model.beta, model.rho, model.nu)

===>
13.706637968052135 0.5 -0.04495875656782091 1.8499748021823488

Se ve bien. Pero nota que el parámetro de volatilidad (alpha=sigma_0) es extremadamente grande. Como representa la volatilidad del activo, debería estar alrededor de su IV: 0.4 (40%).

En segundo lugar, si escalamos la huelga y el precio-a-futuro simultáneamente,

forawrd_price=1.6
strikes = [i/10 for i in range(11,22)]
...
print(model.alpha, model.beta, model.rho, model.nu)
===>
0.4331475152825642 0.5 -0.04276820194468185 1.850789849704347

Esta vez el parámetro de volatilidad alpha es razonable, lo que coincide con la IV.

• Pregunta

Por lo tanto, me pregunto por qué hay tanta discrepancia al ajustar activos cuando escalamos el precio. Si estoy a punto de ajustar activos cuyo precio tiene un valor absoluto grande, ¿debería primero escalarlo y luego volver a escalarlo? ¿Cuál es el enfoque correcto aquí?

¡Gracias!

Answer 1

Supongamos que puedes calibrar igual de bien usando $\beta = 1$. Entonces tendrías $$ dF = \alpha \sqrt F dW $$ y $$ dF = \tilde\alpha F dW = (\tilde\alpha \sqrt F) \sqrt F dW $$ Así que puedes hacer la identificación $$ \alpha \sim (\tilde\alpha \sqrt F) $$ En tu ejemplo $\alpha = 13.71$ y $\tilde \alpha = 0.43$. Entonces supongo que el precio spot $F_t$ está en el orden de magnitud $1016$. ¿Está cerca?