Camino de crecimiento equilibrado en la tecnología neutra de Hicks y en la función CES

Question

En otra publicación (Definición de camino de crecimiento equilibrado en el estado estacionario neutro de Hicks con tecnología), se abordó el problema de tener un estado estacionario no estacionario en un modelo Solow con un choque tecnológico neutro de Hicks.

Se demostró que en el caso de $Y_t = A_tF(K_t,L_t)$, la tasa de crecimiento de Y es:

$g_Y = g_A + g_L + \frac{f'(k^*)}{f(k^*)}\dot{k^*}$

siendo $k^*$ el "estado estacionario" de $k_t$ que se obtiene asumiendo que:

$\dot{k}_t = sA_tf(k_t) - (n+\delta)k_t = 0$

Luego, $g_Y$ solo se conoce si se conoce $f$.

Supongamos que:

$Y_t = A_t(aK_t^\rho + bL_t^\rho)^{\frac{1}{\rho}}$

entonces podemos mostrar que:

$Y_t = A_tf(k_t)$

con $k_t = \frac{K_t}{L_t}$ y:

$f(k_t) = (ak_t^\rho + b)^{\frac{1}{\rho}}$.

¿Alguien puede ayudarme con la expresión para:

$\frac{f'(k^*)}{f(k^*)}\dot{k^*}$

¡Gracias!

Answer 1

El problema es que, como en la mayoría de los casos para el modelo de Solow, no conocemos una solución analítica explícita de la ecuación diferencial para $k_t$, la llamada ecuación fundamental del crecimiento, y en general se debe confiar en un análisis cualitativo, como se ejemplifica en los gráficos habituales del modelo de Solow.

La ecuación fundamental del modelo de Solow con la productividad total de los factores $A_t$ en general es:

$$\dot{k}_t = sA_tf(k_t) - (n+\delta)k_t \tag{1}.$$

Sustituyendo en $(1)$ la expresión de $f(k)$ para la función $CES$, $f(k_t) = (ak_t^\rho + b)^{\frac{1}{\rho}}$, para obtener:

$$\dot{k}_t = sA_t( (ak_t^\rho + b)^{\frac{1}{\rho}}) - (n+\delta)k_t \tag{2}.$$

¿Cómo resolver esta ecuación diferencial en la función desconocida $k_t$, para conocer explícitamente $k_t$?

Observa que:

1. La ecuación $(2)$ depende de la función $A_t$, que no conocemos.

2. Incluso si conociéramos la función $A(t)$, es altamente probable que no seamos capaces de resolver analíticamente la ecuación diferencial $(2)$, porque, desafortunadamente, en matemáticas la clase de ecuaciones diferenciales que sabemos cómo resolver no es muy grande, no sabemos cómo resolver muchas ecuaciones diferenciales.

Como consecuencia, no podemos conocer $k^*$.

Hasta donde yo sé, el único caso (de relevancia económica) en el que sabemos cómo resolver explícitamente, analíticamente, el modelo de Solow es cuando la función de producción es una Cobb-Douglas.

En este caso, se puede demostrar que la ecuación fundamental se reduce a un tipo de ecuación diferencial, la llamada ecuación de Bernoulli, para la cual tenemos un método explícito de solución.

Para una explicación, si estás interesado, puedes ver mi respuesta en este hilo sobre la función de producción Cobb-Douglas: ¿Por qué es tan popular la función de producción Cobb-Douglas?

$$***$$

[editar] Vino a mi mente que una discusión del caso de la función de producción $CES$ está en el artículo clásico de Solow, Una contribución a la teoría del crecimiento, 1956, pp. 77-78.

Solow examina el caso $p={1\over {2}}$, para que la función de producción $CES$ sea:

$$Y=(a\sqrt{K}+\sqrt {L})^2$$

Y la ecuación fundamental se convierte (él escribe $r$ en lugar de $k$):

$$\dot r = s(a\sqrt r+1)^2-nr$$.

Luego señala que:

La solución tiene que darse implícitamente: $$\left(\frac{A\sqrt r+1}{ A\sqrt r_0+1}\right)^{1/A}\left(\frac{B\sqrt r+1}{ B\sqrt r_0+1}\right)^{1/B}= e^{\sqrt {nst}}$$

Otra vez es más fácil referirse a un diagrama.

Por lo tanto, el problema es que no tenemos una solución explícita para $r$.

Además, aquí la productividad total de los factores $A_t$ está ausente, y su eventual presencia evidentemente puede complicar aún más las cosas.