Calculando la covarianza de las carteras a través de la bilinealidad con rendimientos logarítmicos o simples

Question

Estoy queriendo calcular la covarianza entre dos carteras $A$ y $B$ que están asignadas a activos $X_i$ (donde $i \in \left[1, 2, \cdots, N \right]$) con pesos $\vec{w_A}$ y $\vec{w_B}$, respectivamente. Asumiendo que ya tengo la covarianza estimada entre estos activos ($\Sigma_X$), sé que puedo calcular la covarianza entre estas dos carteras ($\Sigma_{A,B}$) usando la propiedad de bilinearidad de la covarianza, donde $W$ es la matriz $2 \times N$ que contiene $\vec{w_A}$ y $\vec{w_B}$ en sus filas:

$$\Sigma_{A,B} = W\Sigma_{X}W^T.$$

Sin embargo, puede haber un pequeño problema con respecto al uso de retornos logarítmicos o retornos simples. La mejor práctica para calcular $\Sigma_X$ sería hacerlo usando los retornos logarítmicos de los activos subyacentes. Sin embargo, tomar la suma ponderada de esos retornos logarítmicos no dará como resultado el retorno logarítmico de la cartera ya que los retornos logarítmicos no se acumulan entre activos. La bilinearidad depende de que las nuevas variables aleatorias ($A$ y $B$) sean combinaciones lineales de las variables aleatorias subyacentes ($X_i$). Esto significa que debo calcular $\Sigma_X$ usando los retornos simples de los activos, o aceptar que estoy acumulando retornos logarítmicos entre activos.

El escenario óptimo sería si hubiera una manera de convertir una covarianza estimada a través de retornos logarítmicos en una covarianza estimada a través de retornos simples (y viceversa). De esa manera, aún podría calcular $\Sigma_X$ correctamente, convertirla en una estimación de covarianza geométrica, aplicar la bilinearidad para obtener la estimación de covarianza geométrica de la cartera, y luego convertirla nuevamente en una estimación de covarianza logarítmica. No he encontrado tal transformación.

Para dejar constancia, estoy realizando estos cálculos con observaciones diarias, por lo que reconozco que la diferencia entre estos dos cálculos probablemente sea bastante pequeña ya que los retornos logarítmicos aproximan a los retornos simples cuando son pequeños.

¿Cuál es la mejor práctica?

Answer 1

Supongamos que comenzamos con dos acciones $A$ y $B$, y asumimos que están distribuidas de forma logarítmica normal. Específicamente, vamos a suponer:

$$\log(A_t) - \log(A_{t-1}) = X \sim N(\mu_A, \sigma^2_A)$$ $$\log(B_t) - \log(B_{t-1}) = Y \sim N(\mu_B, \sigma^2_B)$$ $$\text{Cor}(X, Y) = \rho$$

Luego, en el tiempo $t$, con todos los términos condicionales a $A_t$ y $B_t$, tenemos: $$A_{t+1} = A_te^{\mu_A + \sigma_A X}$$ $$B_{t+1} = B_te^{\mu_B + \sigma_B Y}$$

$$\text{Cov}\Bigg( \frac{A_{t+1} - A_t}{A_t}, \frac{B_{t+1} - B_t}{B_t}\Bigg)$$ $$= \frac{\text{Cov}(A_{t+1}, B_{t+1})}{A_tB_t}$$

$$ \frac{1}{A_tB_t}\Big(\mathbb{E}(A_tB_te^{\mu_A + \mu_B + \sigma_A X + \sigma_B Y}) - \mathbb{E}( A_te^{\mu_A + \sigma_A X})\mathbb{E}( B_te^{\mu_B + \sigma_B X})\Big)$$

$$= \mathbb{E}(e^{\mu_A + \mu_B + \sigma_A X + \sigma_B Y}) - \mathbb{E}(e^{\mu_A + \sigma_A X})\mathbb{E}(e^{\mu_B + \sigma_B X})$$

$$= e^{\mu_A + \mu_B + \frac{1}{2}\sigma^2_A + \frac{1}{2}\sigma^2_B + \sigma_A\sigma_B\rho} - e^{\mu_A + \mu_B + \frac{1}{2}\sigma^2_A + \frac{1}{2}\sigma^2_B }$$ $$= e^{\mu_A + \mu_B + \frac{1}{2}\sigma^2_A + \frac{1}{2}\sigma^2_B }(e^{\sigma_A\sigma_B\rho} - 1)$$

(Nota que para otras hipótesis sobre las distribuciones de los retornos logarítmicos, puedes intentar otros análisis similares.)

Dicho esto, y esto es una cuestión de opinión, no estoy seguro de si vale la pena pasar por esto. En la mayoría de los casos, la diferencia entre las dos estimaciones de la covarianza va a ser relativamente pequeña como tú señalaste, y el problema de estimar adecuadamente la distribución (o incluso solo la media, covarianzas, etc.) de los retornos logarítmicos probablemente sea mucho más grande.