¿Cómo demostrar que el índice de Paasche es menor o igual al IPC si las preferencias son homotéticas?

Question

Dado que $$IPC=\frac{e(p^1,u^0)}{e(p^0,u^0)}$$ y el índice de Paasche $$IPP=\frac{p^1\cdot x^1}{p^0\cdot x^1}$$ ¿Cómo puedo demostrar que $IPP\leq IPC$ si las preferencias son homotéticas?

Esto es lo que he hecho: Quiero demostrar que \begin{align} &\frac{p^1\cdot x^1}{p^0\cdot x^1}\leq \frac{e(p^1,u^0)}{e(p^0,u^0)}\\ \implies& p^0x^1 e(p^1,u^0)\geq p^1 x^1 e(p^0,u^0)\\ \implies& p^0x(p^1,w^1) e(p^1,u^0)\geq p^1 x(p^1,w^1) e(p^0,u^0)\\ \implies& p^0w^1x(p^1,1) e(p^1,u^0)\geq p^1 w^1x(p^1,1) e(p^0,u^0)\\ \implies& p^0x(p^1,1) e(p^1,u^0)\geq p^1x(p^1,1) e(p^0,u^0) \end{align} Dado que $p^1x(p^1,1)=w_1=1$, y $e(p^0,u^0)=w^0$, queremos demostrar que $$p^0x(p^1,1) e(p^1,u^0)\geq w^0$$

¿Cómo debo proceder exactamente?

Answer 1

Dado que las preferencias son homotéticas, tenemos que $e(p_1, u) = e(p_1,1) u$ y que $e(p_0, u) = e(p_0,1) u$ (la función de gasto es lineal en $u$)

Entonces, $$ \frac{e(p_1, u_0)}{e(p_0, u_0)} = \frac{e(p_1,1)}{e(p_0,1)}\frac{u_0 u_1}{u_0 u_1} = \frac{e(p_1, u_1)}{e(p_0, u_1)} $$ Luego, $e(p_0, u_1)$ es el gasto mínimo a precios $p_0$ para alcanzar el nivel de utilidad $u_1$. También sabemos que comprar $x_1$ nos dará al menos el nivel de utilidad $u_1$. Por lo tanto, $$ p_0 x_1 \ge e(p_0, u_1). $$ Finalmente, $e(p_0, u_0)$ es el gasto mínimo a precios $p_0$ para alcanzar el nivel de utilidad $u_0$. Esto se alcanza comprando el conjunto $x_0$, entonces, $$ p_0 x_0 = e(p_0, u_0). $$

Combinando todo esto, obtenemos: $$ \frac{p_1 x_1}{p_0 x_1} \le \frac{e(p_1, u_1)}{e(p_0, u_1)} = \frac{e(p_1, u_0)}{e(p_0, u_0)}. $$