En el modelo de Solow, en la senda de crecimiento equilibrado, ¿por qué no son cero los salarios?

Question

Según este manual sobre el modelo de crecimiento de Solow, los salarios son iguales a $w = \frac{\partial Y}{\partial L} = A \left(f(k) - f^{\prime}(k)k\right)$.

En la senda de crecimiento equilibrado sabemos que $\dot{k} = 0 = sf(k^{\star}) - (n+g+\delta)k^{\star}$ donde $k^{\star}$ es el valor de $k$ en la senda de crecimiento equilibrado.

De esto se deduce que

$$f(k^{\star}) = \frac{n+g+\delta}{s}k^{\star}$$ $$\implies f^{\prime}(k^{\star}) = \frac{n+g+\delta}{s}$$ $$\implies f(k^{\star}) - f^{\prime}(k^{\star})k^{\star} = 0$$

Y así los salarios son cero.

Pero el manual también dice que la tasa de crecimiento de los salarios es $\frac{\dot{w}}{w} = g$ en la senda de crecimiento equilibrado lo cual no tiene sentido si estamos dividiendo por $w=0$. Debe haber un error en la lógica anterior, pero no lo veo.

Answer 1

La condición $$f(k^\ast) = \frac{n + g + \delta}{s} k^\ast.$$ es una condición de equilibrio que se cumple únicamente en el valor de $k^\ast$. Por lo tanto, no está permitido tomar derivadas de ambos lados y igualarlos.

Tomar derivadas solo estaría permitido si esta ecuación se cumple para todos los $k$ en una vecindad de $k^\ast$ (lo cual no sucede).