Desde el parámetro de riesgo (sensibilidades) hasta el riesgo de mercado (sensibilidades)

Question

En modelos donde el subyacente no se modela directamente, como en el marco HJM o los modelos de tasa de interés, ¿cómo se calculan entonces los griegos, es decir, las sensibilidades con respecto a las variables del mercado?

Como ejemplo, digamos que he utilizado un modelo calibrado de tasa de interés y una simulación de Monte Carlo para encontrar el valor de una Payer Swaption Europea (es decir, una opción de compra de un swap de pago). Quiero encontrar su delta y vega, que son las sensibilidades del valor de la swaption con respecto a los cambios en el precio y volatilidad del subyacente, respectivamente.

Formalmente, si dejamos que $V_t$ denote el precio de la swaption en el swap subyacente $S$, entonces estoy tratando de encontrar

$$\frac{\partial V_t}{\partial S} \quad \text{y} \quad \frac{\partial V_t}{\partial \sigma}.$$

En esta simulación, no tengo una fórmula explícita para $V_t$ como función del precio del swap $S$ y su volatilidad $\sigma$. Sin embargo, tenemos una función explícita para el precio del swap $S$ como función de los parámetros del modelo o nuestras variables de estado. Y también tenemos una función implícita para el precio de la swaption $V$ en forma de nuestra simulación de Monte Carlo (o si tenemos suerte alguna expresión analítica o semi-analítica). Por lo tanto, podemos encontrar los riesgos/sensibilidades con respecto a los parámetros o variables de estado del modelo.

¿Cómo puedo pasar de las sensibilidades de los parámetros a las sensibilidades del mercado que usaríamos para el informe de riesgos o la cobertura?

Answer 1

Formalmente, tienes dos ingredientes:

1. una función de precios para tu instrumento específico, $f$, que depende de algún conjunto de parámetros del modelo $\mathbf{r}$
2. una parametrización $\mathbf{F}$ que vincula consistentemente los parámetros del modelo $\mathbf{r}$ con las comillas observadas $\mathbf{q}$.

Por ejemplo, $\mathbf{F}$ podría representar tus modelos de tasas de intercambio y corto plazo que se han calibrado con respecto a las tasas de intercambio observadas y las volatilidades implícitas. Puedes pensar en $\mathbf{F}$ como un vector apilado de funciones de valoración (depósitos, FRAs, swaps, capas/pisos, swaptions). Si está calibrado correctamente, el modelo debe cumplir con los parámetros observados $\mathbf{c}$ (... que podrían ser precios negociados o comillas directas):

$$\mathbf{r}:\mathbf{F}(\mathbf{r},\mathbf{q})\stackrel{!}{=}\mathbf{c}$$

La derivación posterior asume que tenemos el mismo número de productos de referencia en $\mathbf{F}$ que de comillas $\mathbf{q}$ y parámetros $\mathbf{r}$.

Ahora estamos interesados en $\mathrm{d}f$ como función de $d\mathbf{q}$. A partir del teorema de la función implícita

$$\begin{align} \mathrm{d}\mathbf{F}&=\frac{\partial F}{\partial \mathbf{r}}\mathrm{d}\mathbf{r}+\frac{\partial F}{\partial \mathbf{q}}\mathrm{d}\mathbf{q}\stackrel{!}{=}0\\ \Rightarrow \mathrm{d}\mathbf{r}&=-\left(\frac{\partial F}{\partial \mathbf{r}}\right)^{-1}\frac{\partial F}{\partial \mathbf{q}}\mathrm{d}\mathbf{q} \end{align}$$

donde $\frac{\partial F}{\partial \mathbf{r}$y$\frac{\partial F}{\partial \mathbf{q}}$se entienden como los jacobianos de$F$ con respecto a las tasas y comillas. Ahora podemos escribir

$$\mathrm{d}f=\frac{\partial f}{\partial \mathbf{r}}\mathrm{d}\mathbf{r}=-\frac{\partial f}{\partial \mathbf{r}}\left(\frac{\partial F}{\partial \mathbf{r}}\right)^{-1}\frac{\partial F}{\partial \mathbf{q}}\mathrm{d}\mathbf{q}$$