Multiplicativa (autosostenida) BIAS en Elasticidad Cruzada de Precios

Question

He estado intentando estimar la elasticidad cruzada de la demanda sobre datos óptimos del mercado mediante una regresión simple como la siguiente:

$$ln(x_i) = \beta_0 + \beta_i ln(P_i) + \sum_j^J \beta_j \cdot ln(P_j) + \epsilon$$

Donde $P_j$ es el precio del $j$-ésimo producto y $x_i$ es la cantidad del $i$-ésimo producto comprada ese día, con $\beta_j$ indicando la elasticidad cruzada de precios entre los productos $i$ y $j$.

Ahora, sé que estos resultados deberían estar sesgados de tal manera que $\beta_j = \beta_j^* + BIAS(\beta_j)$, en su mayoría debido a la simultaneidad, lo que me obliga a explicar el lado de la oferta con una variable instrumental para obtener los resultados adecuados para la demanda. Lo curioso es que al comparar los resultados obtenidos para $\beta_j$ con la intuición básica y otros métodos para determinar complementos/sustitutos, parece como si el $\beta_j$ estuviera correctamente estimado en cuanto al signo.

Para mí, esto parece como si el sesgo fuera auto-reafirmante. Esperamos que $\beta_j > 0$ para los sustitutos y $\beta_j < 0$ para los complementos, mientras que mis resultados indican como si:

$$BIAS(\beta_j) \approx \left\{ \begin{array}{ll} BIAS(\beta_j) > 0 & \{ \text{si $\beta_j > 0$} \} \\ BIAS(\beta_j) = 0 & \{ \text{si $\beta_j = 0$} \} \\ BIAS(\beta_j) < 0 & \{ \text{si $\beta_j < 0$} \} \end{array}\right.$$

Esto puede ser denotado como un sesgo multiplicativo en lugar de aditivo, de tal manera que $\beta_j = \beta_j^* \cdot BIAS(\beta_j)$.

Si dos bienes son independientes, el método simple de estimación de la elasticidad cruzada de precios los muestra como independientes, y si tienen una cierta relación entre sí, la estimación simple identifica esta relación adecuadamente. He intentado simularlo (la simulación aún no es buena; sin embargo, los resultados preliminares ilustran un fenómeno similar).

La pregunta:

• ¿Este principio se cumple en general (es decir, la elasticidad cruzada de precios tiene un sesgo auto-reafirmante)?
• ¿La estimación simple sesgada de la elasticidad cruzada de precios proporciona una buena estimación de las relaciones entre productos (es decir, el sesgo puede estar presente en cualquier forma pero generalmente es insignificante)?
• Lo más importante, ¿existe una literatura que describa este fenómeno?

Answer 1

¿Se cumple este principio en general (es decir, la elasticidad cruzada de precios tiene un sesgo de refuerzo propio)?

No, esto no es algo que se cumple. Si obtuviste los signos correctos, solo tuviste suerte, y es un caso especial que tiene poco que ver con lo que describes en la pregunta.

Estructuralmente, el modelo correcto se ve así:

$(1) \quad \ln x_i = \beta_0 + \beta_1 \ln P_i + \beta_2 \ln P_j + \epsilon$

$(2) \quad \ln P_i = \alpha_0 + \alpha_1 \ln x_i + \eta$

$(3) \quad \ln x_j = \omega_0 + \omega_1 \ln P_i + \omega_2 \ln P_j + u$

$(4) \quad \ln P_j = \gamma_0 + \gamma_1 \ln x_j + \xi$

Ahora resuelve el sistema anterior para $\ln P_j$, obtendrás:

$$\ln P_j = \frac{1}{\left((1-\frac{\gamma_1\omega_1 \alpha_1\beta_2}{(1- \alpha_1\beta_1 )} -\gamma_1\omega_2 )\right)} \left( \gamma_0 + \gamma_1\omega_0 + \frac{\gamma_1\omega_1(\alpha_0 + \alpha_1 \beta_0) }{(1- \alpha_1\beta_1 )} + \frac{\gamma_1\omega_1 \alpha_1}{(1- \alpha_1\beta_1 )}\epsilon + \frac{\gamma_1\omega_1 }{(1- \alpha_1\beta_1 )}\eta+ \gamma_1u + \xi \right)$$

El sesgo de simultaneidad proviene de $cov(\ln P_j, \epsilon) \neq 0$. La ecuación anterior muestra que a menos que tengamos casos especiales como $\gamma_1=0$, etc., habrá sesgo porque $P_j$ es función de $\epsilon$.

Por lo tanto, lo que estás afirmando no es correcto:

• el sesgo de un coeficiente estimado no es 0 si alguno de los $\beta$'s es cero, o incluso cuando ambos juntos son cero, es decir, incluso si $\beta_1=\beta_2= 0$, todavía habrá sesgo. $\ln P_j$ seguirá siendo función de $\frac{\gamma_1 \omega_1 \alpha_1}{1-\gamma_1 \omega_2}$.

Para obtener el sesgo de $\beta_2$ o como lo llames $\beta_j$ a cero, en esencia necesitas que el precio de $j$ sea independiente de la cantidad ( $\gamma_1 = 0$). Sin embargo, esta no es una observación revolucionaria. En ese caso, el precio no es endógeno. Por lo tanto, esto no es nada nuevo, solo econometría básica.

• los signos de $\beta_1$ o $\beta_2$ no te dicen el signo del sesgo. Dependiendo de los signos de otros parámetros, el signo global puede cambiar.

¿La estimación sesgada simple de la elasticidad cruzada de precios proporciona una buena estimación de las relaciones entre los productos (es decir, el sesgo puede estar presente en cualquier forma, pero generalmente es simplemente insignificante)?

Como dice la matemática en la sección anterior, no.

• OLS ingenuo no te da el signo correcto a menos que $P_j$ sea independiente del producto, por ejemplo, tal vez haya un precio fijado por el gobierno y el gobierno no responde a escaseces o excedentes del producto. Si ese es el caso, entonces puedes usar trivialmente OLS porque entonces $P_j$ es exógeno.

• El tamaño del sesgo no se puede conocer sin primero estimar otros parámetros de otras ecuaciones, si tienes datos para hacer eso, bien podrías simplemente correr algún modelo estructural y obtener las estimaciones correctas directamente en lugar de tratar de corregir laboriosamente estimaciones sesgadas.

Lo más importante, ¿hay literatura que describa este fenómeno?

Dado que el fenómeno realmente no existe generalmente, no debería haber literatura al respecto.