¿El teorema de representación de la utilidad necesita de localmente-no-saciado como condición?

Question

Estoy leyendo Microeconomía de MWG, y estoy un poco confundido sobre el teorema de representación de la utilidad. Afirma que una relación de preferencia racional y continua puede ser representada por una función de utilidad continua, pero en la prueba que proporciona, se utiliza la monotonicidad como condición.

Además, en el próximo capítulo considerando la correspondencia walrasiana, dice que si la relación es localmente no saturada, entonces la correspondencia $x(p,w)$ satisface la ley de Walras.

Estoy muy confundido aquí. ¿Entonces el teorema de representación de la utilidad solo requiere racionalidad y continuidad? ¿Pero la prueba incluso utilizó la monotonicidad fuerte que es más fuerte que la monotonicidad, y mucho menos localmente no saturada?

Answer 1

El resultado se mantiene sin ninguna suposición de no saciedad. Sin embargo, las demostraciones del resultado en su totalidad tienden a ser muy largas y a menudo utilizan métodos matemáticos fuera del alcance de MWG.

Para simplificar, MWG solo presenta una prueba (esencialmente debido a Wold) bajo la suposición de que el dominio de las preferencias es $\mathbb{R}^l_+$ y que las preferencias son monótonas. Esto se menciona en la primera oración de la prueba. Y no, la prueba no utiliza una fuerte monotonicidad; la monotonicidad es suficiente.

Sin no saciedad local, la ley de Walras, en general, no se cumplirá.