¿Cómo demostrar que el valor de una Opción de Compra Europea es convexo respecto al precio del activo subyacente?

Question

Conozco que el pago de una European Call al vencimiento es $\max\{S_T - K,0\}$, donde $S_T$ es el precio subyacente al vencimiento y $K$ es el precio de ejercicio.

Quiero demostrar la convexidad del valor de una European Call $C^E$ en el precio subyacente $S$, desde los primeros principios, es decir,

$C^E (\alpha S_a + (1-\alpha) S_b) \leq \alpha C^E (S_a) + (1-\alpha) C^E (S_b)$

Nota que no escribo las otras variables ya que se mantienen constantes en esta afirmación.

Estoy tomando un curso sobre Derivados Financieros, en el que muchas ecuaciones se demuestran construyendo un arbitraje suponiendo que la igualdad no se cumple.

Mi curso acaba de cubrir los Forwards y Futuros y ahora estamos empezando a estudiar Opciones.

El profesor nos dijo que un argumento de arbitraje también funciona para esta afirmación.

Así que empezaría suponiendo la declaración opuesta, es decir, que existe $\alpha \in (0,1), S_a, S_b > 0$ tal que

$C^E (\alpha S_a + (1-\alpha) S_b) > \alpha C^E (S_a) + (1-\alpha) C^E (S_b)$

Normalmente, el camino a seguir en estas pruebas es:

En $t=0$:

• Comprar el lado más barato
• Vender en corto el lado más caro
• Si te sobra dinero, compra bonos del Tesoro. Si sucede lo contrario, vende en corto bonos del Tesoro. Esto se hace de tal manera que el valor inicial de la cartera sea $0$.

Luego verifica que en $t=T$ todas tus posiciones se cancelan y te quedas con una ganancia positiva sin importar qué.

Sin embargo, no sé cómo proceder en este caso, ya que solo existe un precio subyacente en un momento dado y no se garantiza que el subyacente alcance los tres puntos de precio $S_a, S_b$ y $\alpha S_a + (1-\alpha) S_b$.

Solo podría garantizar uno definiendo el precio subyacente actual como cualquiera de ellos.

Sé cómo demostrar la convexidad en el precio de ejercicio:

• Comprar calls con precio de ejercicio $K_a$
• Comprar calls con precio de ejercicio $K_b$
• Vender en corto una call con precio de ejercicio $\alpha K_a + (1-\alpha) K_b$
• Usar el dinero restante para comprar bonos del Tesoro.

Esto funciona ya que en cualquier momento existen contratos para cualquier precio de ejercicio. Como dije antes, esto no funcionaría al variar el precio subyacente.

Sé acerca de la paridad Put-Call pero no veo cómo sería útil aquí, ya que todo está en términos de calls.

Agradecería cualquier perspectiva sobre esta prueba.

Answer 1

No sé nada sobre finanzas así que por favor no seas muy duro.

Vendamos 1 opción de compra con precio subyacente $\alpha S_a + (1-\alpha) S_b$ y precio de ejercicio $K$. Esto significa que necesito pagar $$ \max\{\alpha S_a + (1-\alpha) S_b- K, 0\} $$

Usemos este dinero para comprar opciones de compra $\alpha$ con precio $S_a$ y opciones de compra $(1-\alpha)$ con precio $S_b$ y precio de ejercicio $K$. Así obtendremos $$ \alpha \max\{S_a - K,0\} + (1-\alpha) \max\{S_b - K,0\}. $$ Dado que: $$ C^E(\alpha S_a + (1-\alpha) S_b) > \alpha C^E(S_a) + (1-\alpha) C^E(S_b), $$ nos quedará algo de dinero, que podemos invertir en un activo libre de riesgo.

Veamos que siempre podemos pagar la opción de compra que vendimos.

1. Si $K \ge S_a, S_b$, entonces también $K \ge \alpha S_a + (1-\alpha) S_b$, así que no obtenemos nada pero tampoco necesitamos pagar nada.

2. Si $S_a, S_b \ge K$, entonces también $\alpha S_a + (1-\alpha) S_b \ge K$ Así obtenemos $\alpha (S_a - K) + (1-\alpha) (S_b - K)$ y necesitamos pagar $\alpha S_a + (1-\alpha) S_b - K$ que es lo mismo.

3. Si $S_a > K > S_b$ y $K > \alpha S_a + (1-\alpha) S_b$ entonces recibimos $\alpha(S_a - K)$ y no necesitamos pagar nada. Estoy súper feliz. El mismo razonamiento aplica si $S_b > K > S_a$ y $K > \alpha S_a + (1-\alpha) S_b$.

4. Si $S_a > K > S_b$ y $\alpha S_a + (1-\alpha) S_b > K$ entonces recibimos $\alpha (S_a - K)$ y necesitamos pagar $\alpha S_a + (1-\alpha) S_b - K$. Nota que: $$ \begin{align*} &\alpha (S_a - K) > \alpha S_a + (1-\alpha) S_b - K\\ \leftrightarrow & (1-\alpha) K > (1-\alpha) S_b\\ \leftrightarrow & K > S_b \end{align*} $$ lo cual es cierto. Una vez más, estoy feliz. Si $S_b > K > S_a$ y $\alpha S_a + (1-\alpha) S_b > K$, llegamos a un resultado similar.

Si no hay oportunidad de arbitraje, entonces la condición de convexidad debería cumplirse.

Answer 2

Proposición. Si $f:A\rightarrow\mathbb{R}$ y $g:A\rightarrow\mathbb{R}$ son funciones convexas definidas en un subconjunto convexo $A$ de $\mathbb{R}^n$, entonces $\max(f,g):A\rightarrow\mathbb{R}$, definida como $\max(f,g)(x) = \max(f(x),g(x))$ para todo $x\in A$, es también una función convexa.

Prueba. Consideremos $x',x''\in A$ arbitrarios, y un $\lambda\in [0,1]$,

\begin{eqnarray*} && \max(f,g)(\lambda x'+(1-\lambda)x'') \\ & = & \max(f(\lambda x'+(1-\lambda)x''),g(\lambda x'+(1-\lambda)x'')) \\ & \leq & \max(\lambda f( x')+(1-\lambda)f(x''),\lambda g(x')+(1-\lambda)g(x'')) \\ & \leq & \max(\lambda \max(f,g)( x')+(1-\lambda)\max(f,g)(x''),\lambda \max(f,g)(x')+(1-\lambda)\max(f,g)(x'')) \\ &=& \lambda\max(f,g)(x')+(1-\lambda)\max(f,g)(x'') \end{eqnarray*}