Estoy estudiando funciones homotéticas usando Matemáticas para Economistas de Simon y Blume. Estoy leyendo su demostración del siguiente teorema:
Teorema$\quad$ Sea $u: \mathbb{R}_+^\mathbf{n} \to \mathbb{R}$ una función estrictamente monótona. Entonces, $u$ es homotética si y solo si para todo $\mathbf{x}$ y $\mathbf{y}$ en $\mathbb{R}_+^\mathbf{n}$, \begin{align} u(\mathbf{x}) \geq u(\mathbf{y}) \iff u(\alpha \mathbf{x}) \geq u(\alpha \mathbb{y}),\quad \textit{para todo}\quad \alpha > 0.\tag1 \end{align}
Siento que hay muchos errores tipográficos y notación confusa en su demostración, y que la prueba en el libro de texto no es completa. Así que reescribo la demostración. Me gustaría saber si mi prueba es rigurosa y completa. ¡Realmente apreciaría si alguien pudiera ayudarme a verificarla!
Aquí está mi intento:
Prueba$\quad$ Primero mostramos que si $u$ satisface (1), entonces es homotética. Sea $\mathbf{e}$ el vector $(1, 1, \dots, 1)$, que abarca la diagonal $\Delta$ en $\mathbb{R}^{\mathbf{n}}$. Definimos la función $f: \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}$ por \begin{align*} f(t) = u(t\mathbf{e}). \end{align*} Dado que $u$ es estrictamente creciente, también lo es $f$; por lo tanto, $f$ tiene una inversa estrictamente creciente $f^{-1}$. Luego \begin{align*} f \circ (f^{-1} \circ u) = (f \circ f^{-1}) \circ u = u. \end{align*} Para demostrar que $u = f \circ (f^{-1} \circ u)$ es homotética, solo necesitamos mostrar que $(f^{-1} \circ u)$ es homogénea.
$\quad$ Para cualquier escalar $a$, la función $a \mapsto f^{-1}(a)$ indica qué tan arriba de la diagonal $\Delta$ se encuentra el conjunto de nivel $u^{-1}(a)$ en $\Delta$. En consecuencia, $f^{-1}(u(\mathbf{x}))$ indica qué tan arriba de $\Delta$ se cruza el conjunto de nivel de $u$ a través de $\mathbf{x}$. Analíticamente, $t = f^{-1}(u(\mathbf{x}))$ es la solución de \begin{align} u(\mathbf{x}) = u(t \mathbf{e}).\tag2 \end{align} Sea $\alpha > 0$ un escalar. Por (1), \begin{align} u(\mathbf{x}) = u(t \mathbf{e}) \implies u(\alpha \mathbf{x}) = u(\alpha t \mathbf{e}).\tag3 \end{align} Pero (3) indica que $s = \alpha t = \alpha f^{-1}(u(\mathbf{x}))$ es la solución de \begin{align} u(\mathbf{\alpha x}) = u(s \mathbf{e}).\tag4 \end{align} Dado que (2) indica que $s = f^{-1}(u(\alpha \mathbf{x}))$ también es la solución de (4), tenemos que \begin{align*} f^{-1}(u(\alpha \mathbf{x})) = \alpha f^{-1}(u(\mathbf{x})); \end{align*} por lo tanto, $(f^{-1} \circ u)$ es homogéneo de grado uno. Como $(f^{-1} \circ u)$ es homogéneo y $f$ es creciente, $u = f \circ (f^{-1} \circ u)$ es homotética.
$\quad$ Para probar la conversa, supongamos primero que $u$ es lineal homogénea, es decir homogénea de grado uno, y que $\alpha > 0$. Estas dos propiedades implican \begin{align*} u(\mathbf{x}) \geq u(\mathbf{y}) & \iff \alpha u(\mathbf{x}) \geq \alpha u(\mathbf{y})\\ & \iff u(\alpha \mathbf{x}) \geq u(\alpha \mathbf{y}) \end{align*} entonces, la propiedad (1) se cumple.
$\quad$ Más generalmente, supongamos que $u$ es homotética, de modo que $u = g_1 \circ v$, con $g_1$ creciente y $v$ homogéneo de grado $k$. Escribimos $v$ como $g_2 \circ h$, donde $g_2(z) = z^k$ y $h(\mathbf{x}) = v(\mathbf{x})^\frac{1}{k}$. Verificamos que $h$ es homogéneo de grado uno: \begin{align*} h(\alpha \mathbf{x}) & = v(\alpha \mathbf{x})^\frac{1}{k}\\ & = \left(\alpha^k v(\mathbf{x})\right)^\frac{1}{k}\\ & = \alpha (v(\mathbf{x}))^\frac{1}{k}\\ & = \alpha h(\mathbf{x}). \end{align*} También tenemos que $g_2$ es creciente. Por lo tanto, podemos escribir $u$ como $u = p \circ h$ con $p \equiv g_1 \circ g_2$ creciente y $h$ lineal homogéneo.
$\quad$ Nuevamente, supongamos que $\alpha > 0$. Dado que $p$ es estrictamente creciente, tiene una inversa estrictamente creciente $p^{-1}$. Por lo tanto, \begin{align*} u(\mathbf{x}) \geq u(\mathbf{y}) & \iff p^{-1}(u(\mathbf{x})) \geq p^{-1}(u(\mathbf{y}))\\ & \iff h(\mathbf{x}) \geq h(\mathbf{y})\\ & \iff \alpha h(\mathbf{x}) \geq \alpha h(\mathbf{y})\\ & \iff h(\alpha \mathbf{x}) \geq h(\alpha \mathbf{y})\\ & \iff p(h(\alpha \mathbf{x})) \geq p(h(\alpha \mathbf{y}))\\ & \iff u(\alpha \mathbf{x}) \geq u(\alpha \mathbf{y}) \end{align*} y así $u$ cumple con la propiedad (1).
¡Muchas gracias por cualquier ayuda!
