Descomponiendo los pagos de la opción

Question

Supongamos una función de pago de opción $$max(min(S-1, 2-S), 0)$$ Para valorar dicha opción, se descompondría esta función, por ejemplo, de la siguiente manera: $$max(S-1, 0) - max(2S-3, 0) + max(S-2, 0)$$ Ahora, puede ser valorada utilizando la fórmula de Black-Scholes.

¿Cómo se obtiene esta descomposición (o cualquier otra solución, en ese caso)?

Imagino que uno empezaría graficando la función de pago. Sin embargo, no pude encontrar soluciones sensatas utilizando este método.

¡Muchas gracias!

Answer 1

Una buena estrategia para encontrar la descomposición es primero mirar el gráfico de $$\max(\min(S-1,2-S),0)\,.$$ Parece ser una

• llamada larga con precio de ejercicio $1$ más

• 2 veces una llamada corta con precio de ejercicio $1.5$ más

• llamada larga con precio de ejercicio $2$

Con Desmos puedes verificar este razonamiento.

Answer 2

También puedes intentar con lo siguiente: \begin{align*} &\ \max\big(\min\big(S-1,\, 2-S\big),\, 0\big) \\ =&\ \max\big(S-1 + \min\big(0,\, 3-2S\big),\, 0\big)\\ =&\ \max\big(S-1 - \max\big(2S-3, \, 0\big),\, 0\big)\\ =&\ - \max\big(2S-3, \, 0\big) + \max\big(S-1,\, \max\big(2S-3, \, 0\big)\big)\\ =&\ - \max\big(2S-3, \, 0\big) + \max\big(S-1,\, 2S-3, \, 0\big)\\ =&\ - \max\big(2S-3, \, 0\big) + \max\big(\max(S-1,\, 0\big), \, 2S-3\big)\\ =&\ - \max\big(2S-3, \, 0\big) + \max(S-1,\, 0\big) + \max\big(0, \, 2S-3 - \max(S-1,\, 0\big)\big)\\ =&\ - \max\big(2S-3, \, 0\big) + \max(S-1,\, 0\big) + \max\big(0, \, S-2 + S-1 - \max(S-1,\, 0\big)\big)\\ =&\ - \max\big(2S-3, \, 0\big) + \max(S-1,\, 0\big) + \max\big(0, \, S-2\big). \end{align*}