El crecimiento del ingreso capitalino es igual al crecimiento del ingreso laboral a lo largo del camino de crecimiento equilibrado.

Question

Estoy tratando de demostrar que cuando los crecimientos tecnológicos y de población son constantes (no negativos), la tasa de crecimiento del ingreso capital y del ingreso laboral en estado estacionario serán iguales. Supongamos que la función de producción está dada por $F(K(t), A(t)L(t))$, y que las tasas de crecimiento de la población y del progreso tecnológico son $n$ y $g$ respectivamente. Todas las otras variables utilizadas son estándar y como las utilizadas por autores como Acemoglu.

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Definir $W = wL$ y $R = rK$. Por brevedad, evitaremos escribir el argumento $t$ de cada función, es decir, escribiremos la variable $L(t)$ como $L$.

Claim: $g_W = \frac{\dot{W}}{W} = \frac{\dot{R}}{R} = g_R$ a lo largo de la trayectoria de crecimiento equilibrado (o en estado estacionario).

Prueba. La afirmación $g_W = g_R$ es equivalente a $\frac{\dot w}{w} + \frac{\dot L}{L} = \frac{\dot r}{r} + \frac{\dot K}{K} \iff \frac{\dot w}{w} + n = \frac{\dot r}{r} + g+n \iff \frac{\dot w}{w} = \frac{\dot{r}}{r} + g$. Notar que obtuvimos $\frac{\dot{K}}{K} = g+n$ a partir de $\frac{d}{dt}\left[\ln\left(\frac{K}{AL}\right)\right] = \frac{d}{dt}\left[\left(k^{*}\right)\right] = 0$ donde $k^{*}$ es el valor en estado estacionario de $k$.

Ahora obtenemos, después de algunos cálculos tediosos, que

• $\displaystyle \frac{\dot w}{w} = \frac{\dot{A} [f(\tilde k) - \tilde k f'(\tilde k)]}{A [f(\tilde k) - \tilde k f'(\tilde k)]} = \frac{\dot A}{A} = g$ donde $\tilde k:= \frac{K}{AL}$ y $w$ está dado por $\frac{\partial F(K,AL)}{\partial L}$.
• $\displaystyle \frac{\dot r}{r} = \frac{f''(\tilde k) \dot{\tilde{k}}}{f'(\tilde k)} = 0$ donde $\tilde k$ está definido como arriba.

Combinando los dos resultados, es inmediato que $g_W = g_R$.

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Pregunta al foro: Mi instructor consideró el ingreso laboral $(W)$ como $wAL$ en lugar de $wL$. Además, dedujo, sin mostrar las deducciones, que $\frac{\dot w}{w} = 0$ donde $w$ es la tasa salarial. Eventualmente, las dos tasas de crecimiento resultaron ser iguales. Sin embargo, su tasa de crecimiento de $w$ es completamente diferente a la mía y también lo son las definiciones. Me pregunto quién lo hizo correctamente, yo o mi instructor.

Answer 1

Tus resultados no discrepan con el resultado de tu profesor, simplemente hay diferentes definiciones de salario, tu $w$ no es lo mismo que el $w$ de tu profesor.

El ingreso laboral que considera tu profesor es de $\tilde {w}AL$, en lugar de $wL$ como en tu caso, donde $\tilde {w}$ es el salario por unidad de trabajo efectiva $AL$, no por trabajador $L$ como en el caso de $w$.

En su modelo, el salario por trabajador es $w= \frac {\tilde {w}AL}{L}= \tilde {w}A$.

Por lo tanto, si la tasa de crecimiento de $\tilde {w}$ es cero, la tasa de crecimiento de $w$ es igual a la tasa de crecimiento de $A$, $g$, como en tu modelo: en ambos casos el resultado es que el salario por trabajador crece al mismo ritmo que la productividad.

¿Por qué la tasa de crecimiento de $\tilde {w}$ es cero?

Supongo que tu profesor iguala el salario $\tilde {w}$ a la productividad marginal de trabajo efectivo $AL$, y esta última depende únicamente de $\tilde {k}= K/{AL}$, y $\tilde {k}$ en estado estacionario es constante: es decir, $\dot {\tilde {w}}=0$.

De hecho, recordando que la función de producción es homogénea de grado uno, podemos escribirla como $$Y= AL f(K/AL)= AL f(\tilde {k}).$$ Al diferenciar con respecto a $AL$ tenemos:

$$\tilde {w}= \frac{\partial (Y)}{\partial (AL)}= AL f’\left(\frac {K}{AL}\right) \left(-\frac {K}{(AL)^2}\right)+f\left(\frac {K}{AL}\right)=f(\tilde {k})-\tilde{k} f’(\tilde {k}).

Esta última expresión depende únicamente de $\tilde {k}$, que en estado estacionario es constante, y por lo tanto $\tilde {w}$ es constante.