Estoy tratando de demostrar que cuando los crecimientos tecnológicos y de población son constantes (no negativos), la tasa de crecimiento del ingreso capital y del ingreso laboral en estado estacionario serán iguales. Supongamos que la función de producción está dada por $F(K(t), A(t)L(t))$, y que las tasas de crecimiento de la población y del progreso tecnológico son $n$ y $g$ respectivamente. Todas las otras variables utilizadas son estándar y como las utilizadas por autores como Acemoglu.
Definir $W = wL$ y $R = rK$. Por brevedad, evitaremos escribir el argumento $t$ de cada función, es decir, escribiremos la variable $L(t)$ como $L$.
Claim: $g_W = \frac{\dot{W}}{W} = \frac{\dot{R}}{R} = g_R$ a lo largo de la trayectoria de crecimiento equilibrado (o en estado estacionario).
Prueba. La afirmación $g_W = g_R$ es equivalente a $\frac{\dot w}{w} + \frac{\dot L}{L} = \frac{\dot r}{r} + \frac{\dot K}{K} \iff \frac{\dot w}{w} + n = \frac{\dot r}{r} + g+n \iff \frac{\dot w}{w} = \frac{\dot{r}}{r} + g$. Notar que obtuvimos $\frac{\dot{K}}{K} = g+n$ a partir de $\frac{d}{dt}\left[\ln\left(\frac{K}{AL}\right)\right] = \frac{d}{dt}\left[\left(k^{*}\right)\right] = 0$ donde $k^{*}$ es el valor en estado estacionario de $k$.
Ahora obtenemos, después de algunos cálculos tediosos, que
- $\displaystyle \frac{\dot w}{w} = \frac{\dot{A} [f(\tilde k) - \tilde k f'(\tilde k)]}{A [f(\tilde k) - \tilde k f'(\tilde k)]} = \frac{\dot A}{A} = g$ donde $\tilde k:= \frac{K}{AL}$ y $w$ está dado por $\frac{\partial F(K,AL)}{\partial L}$.
- $\displaystyle \frac{\dot r}{r} = \frac{f''(\tilde k) \dot{\tilde{k}}}{f'(\tilde k)} = 0$ donde $\tilde k$ está definido como arriba.
Combinando los dos resultados, es inmediato que $g_W = g_R$.
Pregunta al foro: Mi instructor consideró el ingreso laboral $(W)$ como $wAL$ en lugar de $wL$. Además, dedujo, sin mostrar las deducciones, que $\frac{\dot w}{w} = 0$ donde $w$ es la tasa salarial. Eventualmente, las dos tasas de crecimiento resultaron ser iguales. Sin embargo, su tasa de crecimiento de $w$ es completamente diferente a la mía y también lo son las definiciones. Me pregunto quién lo hizo correctamente, yo o mi instructor.
