¿Cómo obtener coeficientes de regresión bivariada a partir de dos coeficientes de regresión univariada?

Question

Supongamos que queremos obtener los coeficientes de la siguiente regresión bivariada: $Y=\beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \epsilon$

Sin embargo, no tenemos acceso a los datos $(X_1,X_2,Y)$. La única información disponible es:

• Coeficientes de la regresión univariada $Y=\gamma_0 + \gamma_1 X_1 + \varepsilon$
• Coeficientes de la regresión univariada $Y=\lambda_0 + \lambda_1 X_2 + \nu$
• Varianzas de $X_1$ y $X_2$, más la correlación entre estos dos
• Varianza de $Y$

¿Cómo podemos obtener $\beta_1$ y $\beta_2$ a partir de esta información?

Answer 1

Los betas son $(x'x)^{-1}(x'y)$. Conoces $(x'x)^{-1}$ a partir de las varianzas y la correlación. Conoces $x'y$ a partir de la correlación entre cada x e y (implicada por el coeficiente de regresión).

Editar para mayor claridad, x es una matriz de los datos de la regresión final.

Edición final: Si conoces la matriz de covarianza de x1, x2 e y, entonces conoces completamente la distribución conjunta y por lo tanto conoces completamente los nuevos coeficientes. En este caso, son deterministas y no es necesario calcular los coeficientes para darse cuenta de esto. Esto, por supuesto, asumiendo normalidad