¿Cómo se obtiene la forma final del índice de precios para un cobb-douglas con n bienes discretos? No puedo llegar a la solución donde e(p,1) = logP = la suma de (participaciones * log(P))
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
tdm
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Usar el formulario de registro para Cobb-Douglas será más fácil: $\ln(u) = \sum_i \alpha_i \ln(q_i)$. También podemos asumir que $\sum_j \alpha_j = 1$. La función de gasto viene dada por: $$ \min_{q} \sum_i p_i q_i \text{ s.t. } \sum_i \alpha_i \ln(q_i) = \ln(u). $$ Las condiciones de primer orden son: $$ \begin{align*} &p_i = \lambda \frac{\alpha_i}{q_i}.\\ &\ln(u) = \sum_j \alpha_j \ln(q_j). \end{align*} $$ Sustituyendo la primera en la segunda se obtiene: $$ \ln(u) = \sum_j \alpha_j \ln(\lambda) + \sum_j \alpha_j \ln(\alpha_j/p_j). $$ Entonces (como $\sum_j \alpha_j = 1$): $$ \ln(\lambda) = \ln(u) - \sum_j \alpha_j \ln(\alpha_j/p_j). $$
Por lo tanto: $$ q_i = \frac{\alpha_i}{p_i} u \prod_j \left(p_j/\alpha_j\right)^{\alpha_j}. $$ Multiplicando ambos lados por $p_i$ y sumando sobre todos los $i$ (teniendo en cuenta que $\sum_j \alpha_j = 1$) se obtiene: $$ \sum_j p_j q_j = u \prod_j (p_j/\alpha_j)^{\alpha_j} $$ Sea $s_i = \frac{p_i q_i}{\sum_j p_j q_j}$ la participación de gasto para el bien $i$. De las dos ecuaciones anteriores, obtenemos: $$ s_i = \alpha_i. $$ Esto nos da el conocimiento convencional de que las funciones de utilidad Cobb-Douglas conducen a participaciones de gasto constantes (iguales a $\alpha_i$).
Ahora, $$ c(p,u) = \sum_{j} p_j q_j = u \prod_j (p_j/\alpha_j)^{\alpha_j} $$ Entonces: $$ \ln(c(p,u)) = \ln(u) + \sum_j \alpha_j\left[\ln(p_j) - \ln(\alpha_j)\right]. $$
Ahora, tomemos dos niveles de precios $p^0$ y $p^1$. Entonces el índice de precios logarítmico es: $$ \ln\left(\frac{c(p^1,u)}{c(p^0,u)}\right) = \ln(c(p^1,u)) - \ln(c(p^0,u)) = \sum_j \alpha_j \left[\ln(p^1_j) - \ln(p^0_j)\right] = \sum_j s_j \ln\left(\frac{p^1_j}{p^0_j}\right). $$ De manera equivalente: $$ \frac{c(p^1,u)}{c(p^0,u)} = \prod_i \left(\frac{p^1_j}{p^0_j}\right)^{s_j}. $$
