¿Por qué este problema de optimización no se puede resolver con condiciones "normales" de KT?

Question

Tengo este problema de optimización:

$$f(x, y, z) = 2xy + yz \qquad \text{sujeto a} \qquad \begin{cases} x+y+2z \leq 1 \\ x \geq 0, y \geq 0, z\geq 0 \end{cases}$$

Lo resolví con "una cierta forma de las condiciones de KT" pero con las condiciones "habituales" de KT no puedo resolverlo.

El punto que da el máximo es $(1/2, 1/2, 0)$.

Lo que quiero decir es esto: creando el Lagrangiano:

$$L = 2xy + yz - \lambda(x+y+2z-1)$$

Condiciones de KT habituales

$$\begin{cases} 2y - \lambda = 0 \\ 2x+z - \lambda = 0 \\ y - 2\lambda = 0 \\ x+y+2z = 1 \\ \lambda(x+y+2z-1) \leq 0 \end{cases} $$

Si $\lambda = 0$ obtengo $(-1/3, 0, 2/3)$ que no es admisible. Si $\lambda \neq 0$ obtengo $y = 0$ y no puedo resolver para $x$ y $z$. En cualquier caso, la solución es incorrecta.

Otras condiciones de KT

No son realmente "diferentes", pero provienen de las notas que encontré en línea. Básicamente afirman que dado que $x, y, z \geq 0$ debo agregar ecuaciones de complementariedad, es decir:

$$\begin{cases} 2y - \lambda = 0 \quad ; \quad x(2y - \lambda) = 0\\ 2x+z - \lambda = 0 \quad ; \quad y(2x+z - \lambda) = 0\\ y - 2\lambda = 0 \quad ; \quad z(y - 2\lambda) = 0\\ x+y+2z = 1 \\ \lambda(x+y+2z-1) \leq 0 \end{cases} $$

A partir de esto, resolviendo y prestando atención, realmente puedo encontrar la solución deseada.

¿Alguien puede explicarme mejor por qué no puedo resolver el problema con las condiciones de KT "habituales"?

Answer 1

De hecho, puedes usar la condición normal de KT. Sin embargo, necesitas añadir explícitamente las restricciones de no negatividad $x, y, z \ge 0$ como restricciones de desigualdad adicionales al especificar el Lagrangiano.

Por lo tanto, el Lagrangiano se ve así: $$ L = 2xy + yz - \lambda(x + y + 2z - 1) + \mu(x-0) + \delta(y - 0) + \eta(z - 0). $$ Aquí, $\mu, \delta, \eta$ son los tres multiplicadores de Lagrange para las tres restricciones de no negatividad $x \ge 0, y \ge 0$ y $z \ge 0$.

Las condiciones de primer orden de KT son: $$ \begin{align*} &2 y - \lambda + \mu = 0,\\ &2x + z - \lambda + \delta = 0,\\ &y - 2 \lambda + \eta = 0,\\ &\lambda(x + y + 2z - 1) = 0,\\ &\mu x = 0,\\ &\delta y = 0,\\ &\eta z = 0. \end{align*} $$ La primera y quinta se pueden utilizar para deshacerse de $\mu$. En particular, observa que (a partir de la quinta condición) o bien $\mu = 0$ o bien $x = 0$. Así que obtenemos la condición: $$ x(2y - \lambda) = 0. $$ De hecho, si $x = 0$ entonces la condición anterior siempre se cumple. Si $x > 0$ entonces $\mu = 0$, por lo que por la primera condición (estableciendo $\mu = 0$) obtenemos $2 y - \lambda = 0$.

De manera similar, la segunda y sexta condición se pueden combinar para: $$ y(2 x + z - \lambda) = 0, $$ y la tercera y séptima condición se pueden combinar para: $$ z(y - 2 \lambda) = 0. $$

Answer 2

La función Lagrangiana generalizada es: $$L(x,y,\lambda) = 2xy+yz+\lambda (1-x-y-2z)$$ Las condiciones de Kuhn-Tucker para el máximo: $$\begin{cases} L_x=2y-\lambda \le0, \quad \quad \quad \quad x\ge 0, \quad xL_x=0\\ L_y=2x+z-\lambda \le 0 , \quad \ \quad y\ge 0, \quad yL_y=0\\ L_z=y-2\lambda\le0, \quad \ \quad \quad \ \ \ z\ge 0, \quad zL_z=0\\ L_\lambda = 1-x-y-2z\ge 0 , \ \ \lambda\ge 0, \quad \lambda L_\lambda=0 \end{cases}$$ Ahora necesitas verificar 16 casos (cada uno de $x,y,z,\lambda$ es cero o positivo). Sin embargo, puedes tomar atajos.

Si $\lambda=0$, entonces de las desigualdades 1 y/o 3 obtenemos que $y=0$.

1. $x=z=0$, entonces $\color{red}{f(0,0,0)=0}$
2. $x=0,z>0$ o $x>0,z=0$ o $x>0,z>0$ son imposibles, porque falla la segunda ecuación.

Si $\lambda>0$, entonces:

1. $x,y,z=0$ es imposible, porque $L_\lambda \ne 0$.
2. $x=y=0,z>0$ es imposible, porque $L_z=0\Rightarrow \lambda=0$ (contradicción).
3. $x=0,y>0,z=0$ es imposible, porque $L_y=0 \Rightarrow \lambda=0$ (contradicción).
4. $x>0,y=z=0$ es imposible, porque $L_x=0 \Rightarrow \lambda=0$ (contradicción).
5. $x=0,y>0,z>0$, entonces $\begin{cases}L_y=0 \\ L_z=0 \\ L_\lambda =0\end{cases}\Rightarrow (y,z,\lambda)=(0.5,0.25,0.25)$ Así, $\color{red}{f=0.125}$.
6. $x>0,y=0, z>0$ es imposible, porque $L_z=0 \Rightarrow \lambda=0$ (contradicción).
7. $x>0,y>0,z=0$, entonces $\begin{cases}L_x=0 \\ L_y=0 \\ L_\lambda =0\end{cases}\Rightarrow (x,y,\lambda)=(0.5,0.5,1)$ Así, $\color{red}{f=0.5 \text{ (max)}}$.
8. $x>0,y>0,z>0$ es imposible, porque $\begin{cases}L_x=0 \\ L_z=0\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}y=0.5\lambda \\ y=2\lambda\end{cases}$ (contradicción).