Elasticidad de la oferta de trabajo

Question

La oferta de trabajo es

$ L(s,H) = \frac{f(\theta)}{s + f(\theta)} H $

Ahora se supone que la elasticidad con respecto a la firmeza $\theta$ es

$\epsilon_L= \epsilon_f - \frac{f(\theta)}{s + f(\theta)} \epsilon_f$

donde $\epsilon_f$ es la elasticidad de $f$ con respecto a la firmeza. ¿Por qué? Si sustituyo en $ L(s,H)$ y tomo la derivada con la regla del cociente, no llego a ninguna parte..

Answer 1

Tenemos que: $$ L(s,H) = \frac{f(\theta)}{s + f(\theta)}H. $$ Tomamos la derivada con respecto a $\theta$: $$ \frac{\partial L}{\partial \theta} = \frac{f'(\theta)}{s + f(\theta)}H - \frac{f(\theta)}{(s + f(\theta))^2} f'(\theta) H $$

Dividiendo por $L$ y multiplicando por $\theta$ obtenemos: $$ \begin{align*} \epsilon_L &= \frac{\partial L}{\partial \theta}\frac{\theta}{L} = \frac{f'(\theta)}{s + f(\theta)} H \frac{\theta (s + f(\theta)}{f(\theta)H} - \frac{f(\theta)}{(s + f(\theta))^2} f'(\theta) H \frac{\theta (s + f(\theta))}{f(\theta)H},\\ &= \epsilon_f - \frac{f(\theta)}{s + f(\theta)} f'(\theta)\frac{\theta}{f(\theta)},\\ &= \epsilon_f - \frac{f(\theta)}{s + f(\theta)} \epsilon_f \end{align*} $$