Prueba para la función de demanda marshalliana

Question

Si tienes una función de demanda marshalliana estrictamente convexa, entonces cumple con WARP. ¿Cómo se puede demostrar esto?

Answer 1

Sea $x(p,w)$ la demanda a precios $p$ e ingreso $w$.

Sea $x_0 = x(p_0,w)$ y $x_1 = x(p_1, w)$. Nótese que $p_0 x_0 = w = p_1 x_1$

Supongamos que se viola el WARP, por lo tanto $x_1 \ne x_0$, $$ p_0 x_0 \ge p_0 x_1 \text{ y } p_1 x_0 \le p_1 x_1. $$

Consideremos cualquier $\alpha \in (0,1)$, definimos $p_\alpha = \alpha p_0 + (1-\alpha) p_1$ y consideramos $x_\alpha = x(p_\alpha, w)$ (lo que significa que $p_\alpha x_\alpha = w$).

Por la convexidad de la demanda: $$ p_\alpha(\alpha x_0 + (1-\alpha) x_1) > p_\alpha x_\alpha. $$

1. si $p_\alpha x_0 \le p_\alpha x_1$ entonces tenemos: $$ p_\alpha x_1 > p_\alpha x_\alpha. $$ Por lo tanto, $$ \begin{align*} w = p_\alpha x_\alpha &< p_\alpha x_1,\\ &= \alpha p_0 x_1 + (1-\alpha) p_1 x_1,\\ &\le \alpha p_0 x_0 + (1-\alpha) w,\\ &= \alpha w + (1-\alpha) w = w, \end{align*} $$ una contradicción.

2. Si $p_\alpha x_1 \le p_\alpha x_0$, entonces: $$ p_\alpha x_0 > p_\alpha x_\alpha. $$ En este caso tenemos la contradicción: $$ \begin{align*} w = p_\alpha x_\alpha &< p_\alpha x_0,\\ &= \alpha p_0 x_0 + (1-\alpha) p_1 x_0,\\ &\le \alpha w + (1-\alpha) p_1 x_1,\\ &= \alpha w + (1-\alpha) w = w. \end{align*} $$