Derivación de FOC con bienes no sustituibles

Question

Estoy tratando de derivar la condición de primer orden de minimización de costos cuando los insumos no son substituibles. La pregunta se basa en el problema planteado por Rubens (AER 2021).

Supongamos que las empresas $f$ producen $Q_{f}$ unidades de producción utilizando bienes intermedios $M_{f}$, trabajo $L_{f}$, y activos fijos $K_{f}$. Los bienes intermedios no pueden ser substituidos ni con trabajo ni con capital. La cantidad de bienes intermedios necesarios para producir una unidad de producción es un escalar $\beta^M$. La función de producción se describe mediante la siguiente ecuación: $$ Q_{f}=\min \left\{ \beta^M M_{f}, \Omega_{f} H\left(L_{f}, K_{f}, \boldsymbol{\beta}\right)\right\} $$

donde los fabricantes difieren en cuanto a su nivel de productividad $\Omega_{f}$. Las empresas utilizan una tecnología de producción $H(\cdot)$ en trabajo y capital con una parametrización común $\boldsymbol{\beta}$. Suponemos que $H(\cdot)$ es dos veces diferenciable en tanto trabajo como capital.

Los fabricantes ejercen poder de oligopsonio sobre tanto el trabajo como los insumos intermedios. La extensión del poder de oligopsonio de un fabricante $f$ sobre los insumos es igual a uno más la elasticidad inversa de la oferta de insumos y se denota por:

$$ \psi^M_{f}= \frac{\partial P^M}{\partial M}\frac{M}{P^M}+1,\qquad \psi^L_{f}= \frac{\partial P^L}{\partial L}\frac{L}{P^L}+1$$

donde $P^M$ y $P^L$ son los precios de los insumos intermedios y el trabajo.

Supongamos que las empresas eligen trabajo para minimizar sus costos variables. Dado que el trabajo y los insumos intermedios no son substituibles, elegir trabajo implica elegir una cantidad de insumos intermedios, y por ende también de producción. A través de sus elecciones de cantidad de insumos, las empresas también establecen los precios de los insumos si la oferta de insumos es creciente. La minimización de costos es entonces: $$ \min _{L_{f }}\left(P_{f}^M M_{f}+P_{f}^L L_{f}-\lambda_{f}\left(Q\left(M_{f}, L_{f}, K_{f}; \beta^M, \boldsymbol{\beta}\right)\right)-Q_{f}\right) $$

Usando el problema de minimización de costos, los costos marginales $\lambda_{f}$ pueden escribirse como: $$ \lambda_{f}=P_{f}^L \psi_{f}^L \frac{\partial L_{f}}{\partial Q_{f}}+P_{f}^M \psi_{f}^M \frac{\partial M_{f }}{\partial Q_{f}} $$

¿Cómo se derivaría esta FOC? ¡Muchas gracias de antemano!

Answer 1

Al parecer, uno haría uso de que $M_f$ y $L_f$ son funciones de $Q_f$, mientras que los precios de entrada son funciones de los respectivos insumos, luego se tomaría la primera derivada de la función objetivo $$ P_{f}^M M_{f}+P_{f}^L L_{f}-\lambda_{f}\left(Q\left(M_{f}, L_{f}, K_{f } ; \beta^M, \boldsymbol{\beta}\right)-Q_{f }\right) $$ con respecto a $Q_f$.

Por ejemplo: $$ P_{f}^M \psi_{f}^M \frac{\partial M_{f}}{\partial Q_{f}} $$ es $$ \begin{align*} P_{f}^M \psi_{f}^M \frac{\partial M_{f}}{\partial Q_{f}}& = P_{f}^M\left(\frac{\partial P_{f}^M}{\partial M_f}\frac{M_f}{P_{f}^M}+1\right)\frac{\partial M_{f}}{\partial Q_{f}} \\ & = \left(\frac{\partial P_{f}^M}{\partial M_f}M_f+P_{f}^M\right)\frac{\partial M_{f}}{\partial Q_{f}} \\ & = \frac{\text{d} P_{f}^MM_f}{\text{d} M_{f}}\frac{\partial M_{f}}{\partial Q_{f}} \\ & = \frac{\text{d} P_{f}^MM_f}{\text{d} Q_{f}}. \end{align*} $$

Answer 2

La forma "min" de la función de producción requiere que $$ Q_f = \beta^M M_f, $$ y $$ Q_f = \Omega_f H(L_f, K_f, \beta). $$ Como tal, podemos escribir el problema de minimización de costos como: $$ C(Q_f) = \min_{M_f, L_f} P^M_f M_f + P^L_f L_f \text{ s.t. } Q_f = \beta^M M_f \text{ and } Q_F = \Omega_f H(L_f, K_f, \beta). $$ El Lagrangiano está dado por: $$ P^M_f M_f + P^L_f L_f - \lambda_1(\beta^M M_f - Q_f) - \lambda_2(\Omega_f H(L_f, K_f, \beta). $$ Aquí $\lambda_1$ y $\lambda_2$ son los dos multiplicadores de Lagrange asociados con las dos restricciones. Las condiciones de primer orden dan: $$ \begin{align*} &P^M_f \psi^M_f = \lambda_1 \beta^M,\\ &P^L_f \psi^L_f = \lambda_1 \Omega_f \frac{\partial H}{\partial L_f}. \end{align*} $$

Luego, el teorema del sobre da que el costo marginal está dado por: $$ \frac{\partial C(Q_f)}{\partial Q_f} = \lambda_1 + \lambda_2. $$ Sustituyendo las condiciones de primer orden se tiene: $$ \frac{\partial C(Q_f)}{\partial Q_f} = P^M_f \psi^M_f \frac{1}{\beta^M} + P^L_f \psi^L_f \frac{1}{\Omega_f \frac{\partial H}{\partial L_f}}. $$

Luego, diferenciando las dos restricciones con respecto a $Q_f$ (en la solución óptima) se tiene: $$ 1 = \beta^M \frac{\partial M_f}{\partial Q_f}. $$ y $$ 1 = \Omega_f \frac{\partial H}{\partial L_f} \frac{\partial L_f}{\partial Q_f}. $$

Por lo tanto, $$ \frac{\partial C(Q_f)}{\partial Q_f} = P^M_f \psi^M_f \frac{\partial M_f}{\partial Q_f} + P^L_f \psi^L_f \frac{\partial L_f}{\partial Q_f}. $$