Basado en el ejemplo de Kamenica y Gentzkow sobre el fiscal y el juez. Las utilidades del emisor y el receptor son $v(\alpha,\omega)=\alpha$ y $u(\alpha,\omega)=-(\alpha-\omega)^2$.
El juez es el receptor y el fiscal es el emisor, donde $\omega =\{I, G\}$ y $\mu_0(G) = 0.3$. El conjunto de acciones es $A = \{0,1\}$ donde $0 : = \text{absolver}$ y $1 : = \text{condenar}$. Para cualquier $\omega$, la utilidad del fiscal es $v(1,\omega)= 1$ y $v(0,\omega)=0$ y la utilidad del juez es $u(0,I)=1=u(1,G)$ y $u(1,I)=0=u(0,G)$. Las utilidades esperadas del juez y el fiscal son las siguientes:
$$u(\alpha,\omega)=0.3\times 1 + 0.7\times 1 = 1\text{ y }v(\alpha,\omega)= 0.3\times 1 + 0.7\times 0 = 0.3$$
El fiscal elige un espacio de señales $S=\{i,g\}$ y una distribución $\pi$ sobre $S$, es decir, $\pi(i|I)=4/7$, $\pi(i|G)=0$, $\pi(g|I)=3/7$, $\pi(g|G)=1$ y por tanto por la ley de la probabilidad total
$$\tau(i) = \pi(i|G)\mu_0(G)+\pi(i|I)\mu_0(I)=0.4 \text{ y } \tau(g) = \pi(g|G)\mu_0(G)+\pi(g|I)\mu_0(I)=0.6$$
Por lo tanto, tenemos que
$$\mu_i(I) = \frac{\pi(i|I)\mu_0(I)}{\pi(i)}=1,\quad \mu_i(G) = \frac{\pi(i|G)\mu_0(G)}{\pi(i)}= 0$$
y
$$\mu_g(I) = \frac{\pi(g|I)\mu_0(I)}{\pi(g)}=\frac{1}{2},\quad \mu_g(G) = \frac{\pi(g|G)\mu_0(G)}{\pi(g)}= \frac{1}{2}$$
Por $u$ y $v$ tenemos que la respuesta óptima del receptor es igual a $\alpha^{\star}(\mu_s) = \mathbb{E}_{\mu_s}(\omega)$ y así la función de valor del emisor es
$$\hat{V}(\mu_s)=\mu_s(G)v(\alpha^{\star}(\mu_s(G)),G)+\mu_s(I)v(\alpha^{\star}(\mu_s(I)),I),\text{ para todo $s\in\text{Supp}(\tau)$}$$
y por lo tanto el problema del emisor se simplifica a
$$\text{max}_{\tau\in\Delta(\Delta(\Omega))} \{ \tau(i) \hat{V}(\mu_i) + \tau(g) \hat{V}(\mu_g) \}\text{ s.t. $\tau(i)\mu_i+\tau(g)\mu_g = \mu_0$ para todo $\omega$}\tag{S.P.}$$
De los números anteriores y si los sustituimos por cada señal $s=\{i,g\}$, la ganancia del emisor es
$$\tau(i)\hat{V}(\mu_i)=\tau(i)\left( \mu_i(G)v(0,G)+\mu_i(I)v(0,I)\right)=0.4\times \left(0\times 0+ 1\times 0 \right)=0$$
y
$$\tau(g)\hat{V}(\mu_g)=\tau(g)\left( \mu_g(G)v(1,G)+\mu_g(I)v(1,I)\right)=0.6\times \left(\frac{1}{2}\times 1+ \frac{1}{2}\times 1 \right)=0.6$$
y $0.4 \times 1+ 0.6 \times(1/2) = 0.7$ que es la probabilidad previa de inocencia y $0.4 \times 0+ 0.6 \times(1/2) = 0.3$ que es la probabilidad previa de culpabilidad.
Para concluir, el fiscal enviará la señal $i$ solo si está $100\%$ segura de que el acusado es culpable (basándose en la creencia posterior de $I$) y la señal $g$ si la creencia posterior del acusado de ser inocente o culpable es igualmente probable.
Aunque no explican cómo encuentran los valores para $\pi$ etc., asumo que la idea comienza retrocediendo y resolviendo el problema teniendo como restricciones que $\pi(g|I)+\pi(i|I) = 1$ así como $\pi(g|G)+\pi(i|G) = 1$.
Mi pregunta es ¿cómo resuelvo el problema si el papel del emisor cambia y en lugar de un fiscal tenemos un abogado defensor donde su utilidad será $v(\alpha, \omega)=1-\alpha$ y qué sucede cuando tanto el abogado defensor como el fiscal compiten? (En el documento del $2017$ donde hablan sobre competencia, no logro entender su juego cuando existen dos jugadores, un abogado defensor y un fiscal, revisa en aquí).
