Mi pregunta es si usar un ejemplo es suficiente para demostrar que una función de elección social satisface la propiedad de la no dictadura.
Hay 3 alternativas ($a,b,c$) y 5 individuos ($1,2,3,4,5$). Cada individuo necesita clasificar todas las alternativas en un orden estricto. Sea $P_k$ la clasificación estricta del $k^{th}$ individuo. Sea $f$ una función de bienestar social y dadas las clasificaciones de los individuos selecciona la clasificación de la sociedad de la siguiente manera:
- Primera Elección de la Sociedad: Si una alternativa es clasificada por más del 50% de los individuos, entonces esa alternativa es la primera elección de la sociedad. Si no hay tal alternativa, entonces eliminamos la alternativa que es clasificada primero por el menor número de individuos y cambiamos las clasificaciones (por ejemplo, si la clasificación es $a - b - c$ y se elimina $b$ entonces la nueva clasificación es $a - c$). Repetimos el mismo procedimiento con las clasificaciones actualizadas.
- Segunda Elección de la Sociedad: Consideramos las clasificaciones originales. Una vez que se determina la primera elección de la sociedad, eliminamos esa alternativa y cambiamos las clasificaciones. La segunda elección de la sociedad es la alternativa restante clasificada como la mejor opción por más del 50% de los individuos entre las alternativas restantes.
- Tercera Elección de la Sociedad: La alternativa restante es la tercera elección de la sociedad.
¿Es suficiente asumir que existe algún dictador y mostrar que existe una clasificación de otras personas que no permite que esa persona sea un dictador?
Prueba.
Supongamos que hay algún dictador $h$ cuyos órdenes de preferencia siempre eligen la clasificación de la sociedad. Sin perder generalidad, asumimos que $h=1$ y que sus preferencias están dadas por $P_1 = a - b - c$. Los otros cuatro individuos tienen preferencias $$P_j = c - b - a, \text{ para $j \in 2,3,4,5$}$$ por lo que la clasificación de la sociedad es $c - b - a$.
Dado que $c - b - a \ne P_1$, la persona 1 no puede ser un dictador. Por lo tanto, esta función de bienestar social satisface la condición de no dictadura.
q.e.d.
