Entiendo que la elasticidad de Frisch es la "elasticidad de las horas trabajadas a la tasa salarial".
Me pregunto por qué entonces usamos este nombre específico solo para esto?
¿Es esto para dejar claro lo que significa?
O hay algún otro significado especial o características en la "elasticidad de Frisch"?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
tdm
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No estoy seguro de si esto responde a tu pregunta, pero si entiendo tu pregunta correctamente, solo estás preguntando qué son las funciones de demanda de Frischian. Muy breve: las demandas de Frischian son las demandas expresadas como una función de precios y utilidad marginal del ingreso.
Para una introducción exhaustiva a las funciones de demanda de Frischian, consulte el excelente artículo de Browning, Deaton e Irish (1985) o el interesante documento de trabajo de Browning (1993)
En la teoría de la demanda, generalmente se expresa la demanda como una función de precios $p$ y el ingreso total $m$. Esto da lugar a las funciones de demanda de Marshall $q_i(p,m)$. Es la solución al siguiente problema de maximización de utilidad: $$ v(p,m) = \max_{q} u(q) \text{ s.t. } pq \le m. $$ La función $v(p,m)$ es la función de utilidad indirecta.
Existen alternativas, sin embargo. Por ejemplo, se podría expresar todo en términos de precios y utilidad. Esto corresponde al problema de minimizar los gastos dado un cierto nivel de utilidad umbral $u$: $$ e(p,u) = \min_{q} pq \text{ s.t. } u(q) \ge u. $$ La función $e(p,u)$ es la función de gasto y la solución al problema de minimización del gasto da lugar a las funciones de demanda de Hicks $h_i(p,u)$, las cuales, utilizando el teorema del sobre de Lagrange, se pueden obtener tomando las derivadas parciales de $e(p,u)$ con respecto a los precios. $$ \frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i} = h_i(p,u). $$
Existen algunas dualidades bien conocidas entre los marcos de Marshall y Hicks. Por ejemplo, para todos $(p,u)$: $$ v(p,e(p,u)) = u $$ y para todos $(p,m)$ $$ e(p,v(p,m)) = m. $$
Existe un tercer marco alternativo (algo menos conocido) que expresa la demanda como una función de precios y la utilidad marginal del ingreso. En realidad, es más conveniente utilizar el recíproco de la utilidad marginal del ingreso, que denotaré como $r$. El problema de optimización subyacente es el llamado problema de maximización de "beneficios": $$ \pi(p,r) = \max_{u,q} r u - p q \text{ s.t. } u(q) = u. $$ De manera intuitiva, el consumidor compra un paquete $q$ y vende la utilidad resultante a un precio $r$.
Observa la similitud con la teoría del productor. El problema de maximización de utilidad corresponde al problema de maximización de producción (dado un cierto nivel de gasto para los insumos). El problema de minimización del gasto corresponde al problema de minimización de costos donde minimizamos costos dado algún nivel de producción deseado. El problema de maximización de beneficios corresponde, bueno, al problema de maximización de beneficios de la teoría del productor.
Las condiciones de primer orden de este problema son: $$ r \frac{\partial u(q)}{\partial q_i} = p_i. $$ Nota la similitud entre estas y las condiciones de primer orden para el problema de maximización de utilidad, al sustituir $r$ por el recíproco del multiplicador de Lagrange (que de hecho da la utilidad marginal del ingreso).
Las funciones de demanda resultantes, digamos $f_i(p,r)$ se llaman funciones de demanda de Frischian. Por el teorema del sobre, tenemos: $$ \frac{\partial \pi(p,r)}{\partial p_i} = -f_i(p,r). $$ Como las demandas son los negativos de las derivadas de la función de beneficio, también obtenemos (por el teorema de Young) que los efectos cruzados de los precios son simétricos: $$ \frac{\partial f_i(p,r)}{\partial p_j} = \frac{\partial f_j(p,r)}{\partial p_i}. $$ Esto es similar a la simetría de Hicks.
La función $\pi(p,r)$ se puede mostrar que es convexa (si la utilidad es cóncava), por lo que la Hessiana (que es la matriz de los negativos de las derivadas parciales cruzadas) es semidefinida positiva. Esto significa que las demandas de Frischian son descendentes: $\frac{\partial f_i(p,r)}{\partial p_i} < 0$. Además, ten en cuenta que $f_i(p,r)$ es homogéneo de grado cero en $p$ y $r$.
También ten en cuenta que también: $$ \begin{align*} \pi(p,r) &= \max_{u,q} ru - pq \text{ s.t. } u(q) = u,\\ &= \max_u \left\{ru - \min_{q} \left\{pq | u(q) = u\right\}\right\},\\ &= \max_u ru - c(p,u). \end{align*} $$
Esto da la relación entre la función de beneficio y la función de costos (la función de beneficios es el conjugado cóncavo de la función de costos). Por conjugación: $$ c(p,u) = \max_{r} ru - \pi(p,r). $$
A continuación, $$ \begin{align*} \pi(p,r) &= \max_{q} r u(q) - pq,\\ &= \max_{m}\left\{-m + r \max_{q} \{u(q)| pq = m\}\right\},\\ &= \max_m rv(p,m) - m \end{align*} $$ Esto da la relación entre la función de beneficio y la función de utilidad indirecta. Las demandas de Frischian son bastante convenientes para trabajar si las funciones de utilidad son separables aditivamente.
Considera el caso donde $u(q) = \sum_t v^t(q^t)$ donde $t$ denota los subgrupos. Entonces: $$ \begin{align*} \pi(p,r) &= \max_{u, q_t} r u - \sum_t p^t q^t \text{ s.t. } \sum_t v^t(q^t) = u,\\ &= \sum_t \max_{v^t, q^t} \left\{r v^t(q^t) - p^t q^t\right\},\\ &= \sum_t \pi(p^t, r). \end{align*} $$ Por lo tanto, la función de beneficio también es aditivamente descompuesta. La demanda de Frischian del bien $i$ en el subgrupo $t$, solo será una función de los precios $p^t$ en el grupo $t$ y $r$, $f^t_i(p^t, r)$.
Si tomamos, por ejemplo, $t$ para denotar el tiempo (por lo que la utilidad es separable aditivamente a lo largo del tiempo), entonces sabemos que, si no hay incertidumbre, la utilidad marginal del ingreso ($1/r$) permanece constante. Como tal, las demandas de Frischian muestran que la demanda en el periodo $t$, solo dependerá de los precios en este periodo $p^t$ una vez controlando el valor de $r$. Por lo tanto, todos los efectos intertemporales (de fuera del periodo $t$) son capturados por la única estadística suficiente (pero no observable) $r$.
