Estoy intentando mostrar de manera concisa por qué una derivada que, por naturaleza, introduce arbitraje no puede ser valorada utilizando herramientas de precios neutrales al riesgo.
Derivada:
El comprador adquiere una 'opción de compra', con valor en el tiempo 0 coherente con:
$V(t_{0}) = C(t_{0}, T, \sigma, r, q, K)$
Donde C es la fórmula estándar de Black-Scholes (Merton) para el precio de una opción de compra europea con payoff $(S_{T} -K)^{+}$ en la maduración T.
Aquí está la complicación:
Hasta $t_{m}$ donde $t_{0} \leq t_{i} < t_{m} < T$, el titular puede vender la opción de compra de vuelta al emisor por el valor actual del mercado de B-S de la opción $C(t=t_{i}, T, \sigma, r, q, K), t_{i} < t_{m}$.
En $t_{m}$ el emisor toma, como 'tarifa', $x \% $ de la opción. Por lo tanto, el titular/comprador de la opción tiene una función de valor:
$V(t_{i} < t_{m}) = C(t_{i}, T, \sigma, r, q, K)$
$V(t_{i} \geq t_{m}) = (1-x\%) * C(t_{i}, T, \sigma, r, q, K)$
Esto obviamente tiene arbitraje intrínseco, los precios de las opciones de compra son martingalas con respecto a la medida neutral al riesgo por lo que sin compensar al titular, la estructura de tarifas introduce arbitraje.
Pregunta:
Fuera de los argumentos sobre replicación, ¿qué violación matemática nos impide modelar el valor de la derivada para el emisor en un enfoque neutral al riesgo (y por lo tanto 'cubierto' aprovechando el arbitraje)?
Tengo la sospecha de que hay un argumento que se puede hacer con respecto a la medida martingala, pero no está bien estructurado:
$E[V(t_{m}) | \mathcal{F}_{t_{i}}] \neq V(t_{i}), t_{i} < t_{m}$
¡Cualquier ayuda / idea es muy apreciada!
