En las computaciones relacionadas con Black-Scholes, ¿por qué no tratamos el precio de las acciones $S$ como una función de $t$ al tomar derivadas parciales con respecto a $t$? Por ejemplo, si $$c(t,T)=SN(d_1)-Ke^{-r(T-t)}N(d_2)$$ es el precio de una opción de compra y queremos encontrar $\partial C/\partial t$, nunca incluimos el término $\partial S/\partial t$ y no consideramos $S$ como una función de $t$, sino como una variable separada. ¿Cómo se puede justificar esto?
Respuesta
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Jesper Tidblom
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Si deseas la dependencia completa en el tiempo t de un proceso, a medida que el proceso avanza, debes calcular y estudiar la derivada de Ito completa.
Pero con respecto a tu pregunta: depende de lo que entiendas por "justificado" y cómo vayas a utilizar la derivada parcial. Sí, $S(t)$ depende de t. Sin embargo, el proceso $S(t)$ aquí es aleatorio y casi en ninguna parte diferenciable, por lo que tomar la derivada no tendría mucho sentido en primer lugar.
La razón por la que no tomamos la derivada temporal de $S(t)$ aquí es que consideramos derivadas parciales formales y no derivadas completas. Como ejemplo simple, digamos que $S(t) = t^2$ y consideramos la función $$z(t) = S(t) \cdot t = S \cdot t$$ Ahora queremos calcular $\partial{z} / \partial{t}$. ¿Qué dirías que es esto? En realidad depende de cómo representes $z(t)$. Si utilizas la representación anterior, obtienes $\partial{z} / \partial{t} = S = S(t) = t^2$, pero si representas $z(t)$ como $$ z(t) = t^3 $$ en su lugar obtendrías $\partial{z} / \partial{t} = 3 \cdot t^2.$ Al calcular las derivadas parciales formales, ves las variables como marcadores de posición. No hay contradicción aquí. Y como mencioné al principio, la justificación depende de cómo uses esas derivadas parciales más adelante.
Entonces, en la fórmula de Black-Scholes anterior, vemos el valor de $S = S(t)$ como tal marcador de posición para el valor del proceso $S(t)$ en un $t$ fijo.
