Cálculo del precio de la opción utilizando la volatilidad local y Monte Carlo

Question

La fórmula a continuación se utiliza para convertir la volatilidad implícita en la volatilidad local, mi pregunta es, una vez que la he convertido en la VL (y he construido la superficie completa), ¿qué modelos uso para calcular el precio de la opción? ¿Simulo el precio subyacente utilizando Monte Carlo y simplemente calculo el Valor Presente promedio del payoff, usando:

$$ dS_{t} = (r_{t}-d_{t})S_{t}\,dt + \sigma (S_{t},t)S_{t}\,dW_{t} $$

¿Usar la VL en la fórmula de BS me daría un resultado diferente (es decir, IV ATM = 20%, LV ATM transformada = 17%, así que no puedo usar la LV en el modelo BS)?

$\sigma^2 \left(T,y\right)=\frac{\frac{\partial w}{\partial T}}{1 -\frac{ y}{w} \frac{\partial w}{\partial y}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 w}{\partial y^2}+\frac{1}{4}\left(\frac{ y^2}{w^2}-\frac{1}{w}-\frac{1}{4}\right)\left( \frac{\partial w}{\partial y}\right)^2}$

Donde y es el nivel de dinero, definido como $y=\ln \left(\frac{ K}{F} \right)$, y w es la transformación de la volatilidad implícita de Black Scholes $w=\sigma_{BS}^2\,T$

Agregaré algunas citas del libro (https://bookdown.org/maxime_debellefroid/MyBook/all-about-volatility.html#review-of-volatility-models)

"Una vez que se obtienen las volatilidades locales, se puede fijar el precio de instrumentos exóticos con este modelo de volatilidad local calibrado. Contabilizar adecuadamente la pendiente del mercado puede tener un gran impacto en el precio de los exóticos --> ejemplo: call up-and-out."

"En el enfoque de simulación de Monte Carlo, simulamos muchos caminos y mantenemos solo los que finalizan alrededor del strike. Obtenemos una serie de trayectorias que comienzan en el punto inicial y finalizan alrededor del strike. Promediamos en cada fecha todos estos caminos y obtenemos el camino más probable. También podemos extraer la varianza alrededor de este camino. Obtenemos la estimación de volatilidad implícita a partir de él (gracias al camino más probable y la amplitud alrededor de él). Esto está bien explicado en el libro de Adil Reghai 'Quantitative Finance: Back to Basic principles'."

Answer 1

Las superficies se utilizan para calcular precios de exóticos. Para la fijación de precios de opciones vainilla, no es necesario ajustar una superficie.

LV es aplicable para exóticos no dependientes de la trayectoria. LV básicamente se reduce a una distribución de probabilidad estática sobre el precio del subyacente en la fecha de vencimiento. Pierde varias características reales del mercado que afectan gravemente a la dependencia de la trayectoria, como la volatilidad estocástica y los saltos. Por lo tanto, idealmente querrías tener volatilidad estocástica y saltos en tu modelo de superficie. No estoy familiarizado con SLV, pero parece razonable.