La condición suficiente para una solución interior única en el problema de maximización de utilidad

Question

Supongamos que la función de utilidad es continua, diferenciable, estrictamente creciente y estrictamente cuasiconcava. ¿Tiene la maximización de la utilidad una solución interior única? Si no, ¿hay algún contraejemplo?

Mi idea: Sabemos que el problema de maximización de la utilidad tiene una solución única cuando la función de utilidad es estrictamente cuasiconcava. Y sabemos que la solución en la esquina suele ocurrir cuando la función de utilidad es cuasilineal o $\min\{x_1,x_2\}$, y estos casos ya han sido descartados por la cuasiconcavidad estricta de $u(\cdot)$. Intuitivamente, creo que no debería tener una solución en la esquina al observar los gráficos, pero no sé cómo demostrarlo de manera precisa.

Answer 1

Consideremos a un consumidor con una función de utilidad $u:\mathbb{R}_{++}\times\mathbb{R}_+\rightarrow\mathbb{R$ definida de la siguiente manera: $u(x,y)=\sqrt{x}+y$. Es continua, diferenciable, estrictamente creciente, estrictamente cuasiconcava, pero existen posibilidades en las que hay una solución de esquina al problema de maximización de utilidad de dicho consumidor. Por favor, consulta el siguiente enlace para más detalles: https://economics.stackexchange.com/a/16475/11824 El anterior era el caso de la utilidad cuasilineal que es un contraejemplo para tu afirmación.

Otro contraejemplo es un consumidor con una función de utilidad $u:\mathbb{R}^2_+\rightarrow\mathbb{R$ definida de la siguiente manera: $u(x,y) = (x+1)(y+1)$. Esta también es una función de utilidad continua, diferenciable, estrictamente creciente, estrictamente cuasiconcava, pero existen posibilidades de una solución de esquina cuando resolvemos el problema de maximización de utilidad de este consumidor. Por ejemplo: Consideremos el problema de maximización de utilidad: \begin{eqnarray*} \max_{x\geq 0, \ y\geq 0} & (x+1)(y+1) \\ \text{s.t. } & 3x+y\leq 1\end{eqnarray*} Al resolver este problema, obtenemos $(x^d,y^d)=(0,1)$ que está en la esquina.