Conexión entre los parámetros $\sigma$ del precio spot y el precio forward

Question

Es bien sabido, que bajo el marco Black-Scholes:

$$F\left(t,T\right)=\exp\left(r\left(T-t\right)\right)S\left(t\right),$$

donde $S\left(t\right)$ es el precio spot de un activo en el tiempo $t$, $F\left(t,T\right)$ es el precio forward del mismo activo en el tiempo $t$ con madurez $T$ y $r$ es la tasa de interés libre de riesgo constante. Tanto $S$ como $F$ siguen movimientos Brownianos geométricos con parámetros constantes.

Como consecuencia de la ecuación anterior, diría que los parámetros $\sigma$ son los mismos para $S$ y $F$ (es decir, las EDE de $S$ y $F$ tienen los mismos parámetros $\sigma$).

Sin embargo, la mayoría de las veces (en la práctica y también en la teoría) los precios forward con diferentes madureces $T$ se modelan por separado con diferentes EDEs. En otras palabras, para cada madurez $T$ hay una EDE diferente del precio forward:

$$dF\left(t,T\right)=\sigma_{F^{T}}F\left(t,T\right)dW_{F^{T}}\left(t\right)$$

bajo la medida neutral al riesgo, donde $\sigma_{F^{T}}$ son constantes diferentes para cada $T$, y $W_{F^{T}}$ son procesos de Wiener diferentes para cada $T$. Como resultado, el parámetro $\sigma$ no puede ser el mismo para $S$ y $F$, ya que para todas las madureces los parámetros $\sigma_{F^{T}}$ deben coincidir con el parámetro $\sigma$ de $S$, incluso si asumimos que los parámetros $\sigma_{F^{T}}$ pueden diferir.

En resumen, estas dos afirmaciones anteriores son contradictorias para mí. ¿Cómo se puede resolver? ¿Qué estoy entendiendo mal?

Answer 1

No son contradictorias, si elegimos sigmas razonablemente (dependientes del tiempo, como sugieren los comentarios).

Si $$ F_t^T = e^{r(T-t)} S_t \; \; {\rm y} \; \; dS_t = rS_tdt + \sigma_t S_t dW_t, $$ con $r$ constante y $\sigma_t$ función determinística de $t$, entonces, por el Lema de Ito, obtenemos: $$ d F_t^T =\sigma_t F_t^T dW_t.$$ Si nos enfocamos en una estructura de madurez forward con solo dos puntos, $ t_0< T_1 , podríamos elegir $\sigma$ para ser, por ejemplo, constante por partes: $$ \sigma_t= \left\{ \begin{array}{ll} \sigma_1 & t_0\leq t \leq T_1\\ \sigma_2& T_1 Como $F_t^{T_1}$ se anula (coeficiente de difusión/volatilidad cero) una vez que $t>T_1$, sus dinámicas utilizan solo $\sigma_1$. De manera similar, $F_t^{T_2}$ se anula una vez que $t>T_2$ y utiliza tanto $\sigma_1$ como $\sigma_2$.

Entonces, utilizando tus notaciones:

$$ d F_t^{T_1} =\sigma^{F^{T_1}}_t F_t^{T_1} dW_t,$$ $$ d F_t^{T_2} =\sigma^{F^{T_2}}_t F_t^{T_2} dW_t,$ where $$ \sigma^{F^{T_1}}_t := \sigma_t = \sigma_1, $$ para todo $t\in [t_0,T_1]$ (que es constante), y $$ \sigma^{F^{T_2}}_t:= \sigma_t = \left\{ \begin{array}{ll} \sigma_1 & t_0\leq t \leq T_1\\ \sigma_2& T_1 (que no es constante).

El modelo que propones también sugiere tomar control del controlador browniano del segundo forward, lo cual se puede hacer introduciendo: $$ W^1_t := W_t \; \; {\rm y} \; \; W_t^2, \; \; {\rm con } \; \; dW^1_tdW^2_t=\rho dt$$ ($\rho$ constante).