¿Este mapeo de contracción mapea funciones estrictamente cóncavas en funciones estrictamente cóncavas?

Question

Considera la siguiente ecuación funcional: $$TV(k)=\max[W(k),\beta V(f(k))]$$ donde $\beta\in (0,1)$, $W(k)$ es una función continua, creciente, acotada y estrictamente cóncava definida en $[0,\bar{k}]$, y $f(k)$ es una función continua, creciente y acotada definida en $[0,\bar{k}]$. ¿Mapea $T$ funciones estrictamente cóncavas en funciones estrictamente cóncavas? Si es así, ¿cómo puedo demostrarlo? Si no, ¿hay un contraejemplo?

Answer 1

No. El máximo de dos funciones cóncavas generalmente no es cóncavo, por lo que esto es bastante desesperante.

Aquí hay un contraejemplo explícito: Sea $\bar{k}=1$, $W(k)=\sqrt{k}$, $f(k)=k$, $\beta=0.999$. Sea $V(k)=k+1/2\sqrt{k}$. Dibuja una imagen.