Paso a paso integración de la EDE de Hull-White

Question

Estoy luchando para comprender el proceso de integración de la ecuación de Hull-White:

\begin{equation} dr(t)=[\nu(t)-ar(t)]dt+\sigma dW(t) \end{equation}

En la mayoría de las referencias que he consultado, aparentemente es trivial integrar entre el tiempo spot s y el tiempo de valuación t alcanzando los siguientes resultados de media y varianza:

\begin{equation} E[r(t)]=r(s)e^{-a(t-s)}+\alpha(t)-\alpha(s)e^{-a(t-s)} \end{equation}

\begin{equation} Var[r(t)]=\dfrac{\sigma^2}{2a}[1-e^{-2a(t-s)}] \end{equation}

Donde $\alpha$ está relacionado con la tasa forward $f^{m}$ y se define como:

\begin{equation} \alpha(t)=f^{m}(0,t)+\dfrac{\sigma^2}{2a}[1-e^{-at}]^{2} \end{equation}

¿Alguien conoce un sitio web o un artículo donde se explique todo este proceso de integración paso a paso?

He intentado buscarlo, pero en los mejores casos solo he encontrado uno o dos pasos intermedios sin explicación detallada.

Answer 1

Comenzar con $d(e^{(at)}r(t))=e^{at}(-ar(t)dt+vol*dW(t)+ar(t)dt+v(t)dt)$

Integrar ambos lados con límites. Eso es todo.

Forward es la expectativa del spot, una vez que tienes el spot a partir de aquí.