Tengo dos conjuntos de datos de rendimientos logarítmicos, uno claramente normal mientras que el otro está distribuido t. Quiero ajustar estos con un modelo GARCH multivariado. Un modelo GARCH multivariado se define como $$\mathbf{r}_t=\mathbf{H}_t\boldsymbol{\epsilon}_t$$ Donde $\mathbf{H}_t$ es la matriz de covarianza condicional y $\boldsymbol{\epsilon}_t$ es ruido blanco. En la literatura, la mayoría de los autores afirman que $\boldsymbol{\epsilon}_t$ es IID(0,1). No he entendido el requisito de identicidad. ¿Es posible tener distribuciones diferentes para los elementos del vector $\boldsymbol{\epsilon}_t$? Si no, ¿por qué no y cuál sería una solución alternativa en este caso?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Para responder brevemente a tu pregunta, sí, es posible tener diferentes distribuciones para los elementos en el vector $\mathbf{\epsilon}_t$. Ahora una elaboración:
La formulación de tu modelo está incompleta.
- El vector de medias $\mathbf{\mu}_t$ de $\mathbf{r}_t$ puede no ser cero y variar en el tiempo, convirtiendo $\mathbf{r}_t=\mathbf{H}_t\mathbf{\epsilon}_t$ en $\mathbf{r}_t=\mathbf{\mu}_t+\mathbf{H}_t\mathbf{\epsilon}_t$ y agregando una ecuación para $\mathbf{\mu}_t$.
- La dinámica de la varianza debería ser característica de GARCH. Debería haber una ecuación para $\mathbf{H}_t$ que contenga un componente autorregresivo (rezago de $\mathbf{H}_t$) y un componente de "media móvil" (rezago de $\mathbf{\epsilon}_t$), o algo aproximadamente equivalente a eso. De lo contrario, GARCH multivariante no sería un nombre relevante para el modelo.
- La distribución de $\mathbf{\epsilon}_t$ debe ser i.i.d. con media cero y matriz de varianza identidad. El requisito i.i.d. es más estricto que el ruido blanco al que te refieres en el título de tu pregunta.
Refiriéndose al punto 3., no hay requisito para que los componentes de $\mathbf{\epsilon}_t$ tengan distribuciones univariadas idénticas. Por ejemplo, los modelos copula-GARCH se basan en la distribución multivariante de $\mathbf{\epsilon}_t$ especificada utilizando distribuciones marginales arbitrarias y una cópula arbitraria (pero aún cumpliendo con los requisitos en el punto 3.).
