Momento de la integral del exponencial del movimiento Browniano/Variable aleatoria normal

Question

Estoy estudiando opciones asiáticas aritméticas y hay una integral de la siguiente forma: $$X_T=\int_0^T e^{\sigma W_t+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)t}dt,$$

donde $W_t$ es un movimiento Browniano/proceso de Wiener.

¿Es posible calcular los momentos de esta integral, es decir, $E[X_T^k]$?

Claramente, $$E[X_T]=E\left[\int_0^T e^{\sigma W_t+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)t}dt\right]=\int_0^T E\left[e^{\sigma W_t+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)t}\right]dt=\int_0^T e^{rt}dt=\frac{e^{rT}-1}{r}$$

¿Qué pasa con los otros momentos?

Gracias de antemano.

Answer 1

Puedes usar las fórmulas de Baxter and Brummelhuis (2011). Ellas proporcionan fórmulas de momento para la integral de tiempo del movimiento browniano geométrico X_t, utilizando diferencias divididas.

La derivación completa está en el documento, pero la fórmula es $$ \mathbb{E}\left[X_T^m\right] = T^m m! \exp [Tb_0, Tb_1, \ldots, Tb_m] $$ donde $b_k = kr +\frac{\sigma^2}{2}k(k-1)$, y la diferencia dividida $f[a_0, \ldots, a_k]$ está definida recursivamente como $$ f[a_0, \ldots, a_k] = \frac{f[a_1, \ldots, a_{k}]-f[a_0, \ldots, a_{k-1}]}{a_k-a_0}, \quad f[a,b] = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}. $$

También podrías estar interesado en el documento de Levy (2018), el cual discute más a fondo el enfoque de diferencias divididas.