Modelo de Heston Sensibilidad Propiedad Cualitativa

Question

Considera el siguiente modelo de Heston: $$\begin{aligned} \mathrm{d}S_t&=rS_t\mathrm{d}t+\sqrt{v_t}S_t\mathrm{d}B_{1,t}\\ \mathrm{d}v_t&=-\kappa(v_t-\bar{v})\mathrm{d}t+\sigma_v\sqrt{v_t}\mathrm{d}B_{2,t} \end{aligned} $$ donde $\mathrm{d}B_{1,t}\mathrm{d}B_{2,t}=\rho\mathrm{d}t$. Ahora, ¿cómo podemos estimar el efecto de $v_0$ en el precio de la opción de compra?

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Mi pensamiento inicial es derivar con respecto a $v_0$. El precio de la opción se da por $$C=SP_1-Ke^{-rT}P_2$$ donde $$P_j=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\int_0^{\infty}\mathrm{Re}\left(f_j\frac{e^{-i\phi \ln K}}{i\phi}\right)\mathrm{d}\phi$$ donde $f_j=\exp(C_j+D_jv_0+i\phi x)$ es la función característica y $x=\ln S_T$. Ahora podemos ver que $$\frac{\partial P_j}{\partial v_0}=\frac{1}{\pi}\int_0^{\infty}\mathrm{Re}\left(f_jD_j\frac{e^{-i\phi \ln K}}{i\phi}\right)\mathrm{d}\phi$$ Pero entonces, ¿cómo sé si esta derivada es positiva o no?

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Una forma alternativa de pensar en este problema es usando la fórmula de valoración neutral al riesgo. Bajo $\mathbb{Q}$, tenemos $$\mathrm{d}x_t=\left(r-\frac{1}{2}v_t\right)\mathrm{d}t+\sqrt{v_t}\mathrm{d}B_{1,t}$$ donde $x_t=\ln S_t$. Por lo tanto $$S_t=S_0\exp\left[\int_0^{t}\left(r-\frac{1}{2}v_s\right)\mathrm{d}s+\int_0^{t}\sqrt{v}_s\mathrm{d}B_{1,s}\right]$$ Podemos investigar luego $v_t$.

Answer 1

Aquí para expresar mi opinión - no exactamente una respuesta pero espero que ayude con el proceso de pensamiento.

El área bajo la curva o una integral puede ser tanto positiva como negativa (depende si está por encima o por debajo del eje x $\phi$). Por lo tanto, podemos ignorar el coeficiente $\frac{1}{\pi}$ y simplemente enfocarnos en la integral.

Hay bastantes incertidumbres aquí, como el valor de los parámetros de Heston y los límites del área a evaluar - desde [0,$\infty$), por lo que puede que no esté claro si es positivo o negativo.

Mis pensamientos serían primero agregar algunos parámetros de Heston de muestra e intentar trazar la curva en una calculadora gráfica como Desmos para ver si el área bajo la curva es positiva o negativa.