Cálculo del excedente del consumidor

Question

Supongamos que $P(Q) = 10-0.5Q$. Si una empresa está produciendo $q_1$ y $q_2$ unidades en sus dos máquinas diferentes de manera que $Q = q_1 + q_2$, ¿cuál es el excedente del consumidor en $(q_1, q_2)$?

Pienso que el excedente del consumidor es $\left(\frac{Q}{2}\right)^2$.

Sin embargo, al calcular los excedentes del consumidor por separado, el resultado es diferente. En otras palabras, en $q_i$, el excedente del consumidor es $(q_i/2)^2$ pero el excedente total del consumidor $(q_1/2)^2 + (q_2/2)^2 \neq (Q/2)^2$.

¿Por qué está pasando esto?

Answer 1

Si vamos a considerar los efectos separados en el excedente del consumidor (CS) de $ q_1 $ y $ q_2 $ , lo que debemos hacer primero es encontrar el CS cuando $ Q = q_1 $ y luego considerar el cambio total en CS que resulta de aumentar $ Q $ de $ q_1 $ a $ q_1 + q_2 $. En el diagrama a continuación, el CS cuando $ Q = q_1 $ está representado por el área $ A $ que es igual a $ (q_1/2)^2 $.

El aumento de $ q_1 $ a $ q_1 + q_2 $ tiene dos efectos en el CS. Agrega el área C que es igual a $ (q_2/2)^2 $ . Pero también, al bajar el precio, incluyendo el precio de las unidades originales $ q_1 $, aumenta el CS en esas unidades. Este segundo efecto está representado por el área B, un rectángulo con longitud $ q_1 $ y altura $ q_2/2 $ y por lo tanto área $ q_1q_2/2 $. Por lo tanto, el CS total obtenido de esta manera es como sigue:

$$ CS = \Big(\frac{q_1}{2}\Big)^2 + \frac{q_1q_2}{2} + \Big(\frac{q_2}{2}\Big)^2 = \frac{q_1^2 + 2q_1q_2 + q_2^2}{4} = \Big(\frac{q_1 + q_2}{2}\Big)^2 $$

que es igual a $ (Q/2)^2 $ cuando $ Q = q_1+q_2 $.

Entonces la respuesta a tu pregunta "¿Por qué está sucediendo esto?" es que tu cálculo ignora el área B, el efecto de producir unidades adicionales en el excedente del consumidor de las unidades existentes.