Vega, raíz cuadrada del tiempo, y straddles ATM

Question

¿Podría alguien explicar intuitivamente por qué, por ejemplo, para una opción 1y EURUSD: - Si compras 100 (50 por cada pierna del straddle) de 1y en el dinero EUR vol, eso = raíz cuadrada de 12 x 100 = aproximadamente 350k de EUR vol. Si compras 100 de 6m EUR vol, eso = raíz cuadrada de 6 x 100 = aproximadamente 245k de EUR vol. Si compras 100 de 1m EUR vol, eso = raíz cuadrada de 1 x 100 = 100k de EUR vol. ¿Por qué funciona así?

O empezando desde cero, ¿cuál es la fórmula correcta para calcular vega desde los straddles en el dinero?

Muchas gracias

Answer 1

Black Scholes Vega se da como $$ S \cdot \phi(d1)\cdot\sqrt{\tau} $$

Con $\phi$ como $\frac{e^{-x^2}}{\sqrt{2\pi}}$ y d1 como $\frac{ln(\frac{S}{K}) + (r + \frac{\sigma^2}{2})\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}$.

Para las straddles ATM, d1 es aproximadamente 0 (o, al menos para pequeños $\sigma\sqrt{\tau}$, cerca de 0), lo que significa que $\phi(d1)$ se vuelve ~$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$, y esta aproximación es localmente insensible a cambios en el tiempo de vencimiento. Esto simplifica la fórmula de vega a $$ S \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot\sqrt{\tau} $$

Lo cual varía con la raíz cuadrada del tiempo, explicando la regla mnemotécnica que has mostrado arriba en el ejemplo del EUR.

Vale la pena mencionar que aunque la exposición al vega en efectivo aumenta, la volatilidad de IV disminuye a medida que el tiempo de vencimiento (~raíz cuadrada (t)) aumenta, por lo que el mayor riesgo en dólares se ve compensado por el menor riesgo subyacente.

Editar: Para el straddle se multiplica el vega * 2, por lo que se convierte en $$ S \cdot \sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot\sqrt{\tau} $$